第一章 函数、极限、连续
一、本章考试内容
函数的定义，函数的表示法，分段函数，复合函数，隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性），基本初等函数，初等函数。数列极限的定义和性质，函数极限的定义和性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质和无穷小的比较，极限的四则运算法则，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则），两个重要极限：
，
。函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和零点定理）。
二、本章考试要求
1.理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。
2.了解函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性。
3.了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质和图象。了解初等函数的概念。
5.理解数列极限和函数极限的概念（极限定义中“
”、“
”等形式的表述不作要求）。
6.会求数列的极限。会求函数的极限（含左极限和右极限）。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
7.了解极限的有关性质（唯一性、有界性）。掌握极限的四则运算法则。
8.理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。会用等阶无穷小求极限。
9.会利用极限存在的两个准则求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。
10.理解函数连续性的概念（含左连续、右连续）。会求函数的间断点。
11.掌握连续函数的四则运算法则。
12.了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。
13.了解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和零点定理）。
三、本章教学重点
函数的概念，复合函数的概念，函数的定义域的确定，基本初等函数的性质和图象，函数的简单性质，极限的概念，连续函数的概念，初等函数的连续性，极限的四则运算法则，求极限的方法。
第一节 函数
1.函数的定义
设
为一实数集，若按某种确定的对应规律
，对任意
，都有惟一确定的实数
与其对应，则称
是
的函数，记作
。其中
称为自变量，
为因变量；
的取值范围
叫函数的定义域，
的变化范围叫函数的值域。
对应规律和定义域称为函数的两要素。两个函数只有两个要素完全相同时才是相同的函数。要深刻理解符号
，它具有广泛的涵义，它可以表示一个或几个解析式子，也可表示的是一张表格或一个图形，总之它反映变量之间的相依关系。
函数
的图形，是指平面点集
，一般是一条曲线或分段曲线。函数和其图形是一一对应的。
2.函数的表示法
函数的常用表示方法有三种：
（１）公式法，也叫解析法：是把自变量和因变量之间的对应关系用数学式子表示的方法。如
，
，
等。
（２）表格法：将部分的自变量取值与对应的函数值列表来表示函数关系，如对数表，三角函数表等各种数学用表。
（３）图示法：是把变量之间的对应关系，用相应坐标平面上的图形，通常是曲线来表示，如某地某日24小时温度变化曲线，就是时间
与温度
之间的图示法表示。
为便于理论分析和直观地反映函数性质，有时较多结合使用公式法和图示法。
3.分段函数（非初等函数）
其特点是其定义域被分成几个区间，在不同的区间上，函数有不同的表达式。总体上还是一个函数。
例如实数的绝对值，也可表示一个分段函数
，其图形如图1-1-1。
图 1-1-1
4.隐函数
前面所讲的形如
的函数，一般称为显函数，其特点是变量
分离、分别在等号的两边，用
的解析式
表示
。此外还有一类函数，称为隐函数。
定义：凡能够由方程
确定的函数关系称为隐函数。例如抛物线
就能确定两个隐函数。其一，图形为上半支的
；其二，图形为下半支的
，这是一个隐函数能够显化的简单例子，但并非所有的隐函数都能显化，例如
，
都不能解出
，不能显化。
1.单调性
设函数
的定义域为
，区间
。若对任意的
，
，且
都有
，则称
在
上是单调增加函数，反之若都有
，则称
在
上是单调减少的函数。函数单调增加或单调减少统称为函数的单调性。单调增函数
的图形，随自变量的增加，由低到高；单调减少的函数
的图形随自变量的增加由高到低。
2.奇偶性
设函数
的定义域
是关于原点对称的。如果对于任一
，都有
，则称
为偶函数，其图形关于
轴对称；如果对任一
都有
，则称
为奇函数，其图形关于原点对称。
3.有界性
设函数
，
。如果存在正数
使得对一切
都有
，则称
在
内有界。如果不存在这样的正数
，则称函数
在
内无界。
4.周期性
设函数
，
。如果存在常数
使得对任何
，都有
，则称
为周期函数。满足上式的最小正数T称为
的周期。周期函数在每一个周期内的图形相同。
定义：函数
，若对其值域中任何
值，都有唯一确定的
与之对应，则称函数
为
的反函数，通常记为
。函数
与
是互为反函数，其定义域与值域互相转化。
与
的图形关于直线
对称。
设
是
的函数
，而
是
的函数
且
的定义域
与
的值域
有
，则可确定函数
，称其为由
、
构成的复合函数（函数套函数），
称为中间变量。例如
，
，则构成复合函数
。而
与
就不能构成复合函数。因为
=
，而
=
，即
。复合函数还可以由多个函数复合而成。如
，
，
复合成
，
、
为中间变量。要会复合，反之，也要会对复合函数分解，后者更重要。
1.幂函数
函数
称为幂函数。如
，
，
，
都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由
值确定。如
,
。但在
内
总是有定义的，且都经过（1,1）点。当
时，函数在
上是单调增加的，当
时，函数在
内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数：
的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图 1-1-2
图 1-1-3
2.指数函数
函数
称为指数函数，定义域
，值域
；当
时函数为单调增加的；当
时为单调减少的，曲线过
点。高等数学中常用的指数函数是
时，即
。以
与
为例绘出图形，如图1-1-4。
图 1-1-4
3.对数函数
函数
称为对数函数，其定义域
，值域
。当
时单调增加，当
时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与
互为反函数。当
时的对数函数
称为自然对数，当
时，
称为常用对数。以
为例绘出图形，如图1-1-5。
图 1-1-5
4.三角函数 有
，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述：
（１）正弦函数与余弦函数：
与
定义域都是
，值域都是
。它们都是有界函数，周期都是
，
为奇函数，
为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。
图 1-1-6 正弦函数图形
图 1-1-7 余弦函数图形
（２）正切函数
，定义域
，值域为
。周期
，在其定义域
内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8
图 1-1-8
（３）余切函数
，定义域
，值域为
，周期
。在定义域
内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图 1-1-9
（４）正割函数
，定义域
，值域为
，为无界函数，周期
的偶函数，图形如图1-1-10。
图 1-1-10
（５）余割函数
，定义域
，值域为
，为无界函数，周期
在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图 1-1-11
5.反三角函数
反正弦函数
，定义域
，值域
，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；
图 1-1-12
反余弦函数
，定义域为[-1，1]，值域为
，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；
图 1-1-13
反正切函数
，定义域
，值域为
，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；
图 1-1-14
反余切函数
，定义域为
，值域
，为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。图形如图1-1-15。
图 1-1-15
由常数与基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的用一个解析式表达的函数称为初等函数。其中常数与基本初等函数有限次四则运算构成的函数也叫简单函数。高等数学中所遇到的函数大多是初等函数。分段函数不是初等函数，但在每一段上却是初等函数。要理解掌握好。
例1-1-1：求下列函数定义域。
（1）
，
（2）
解：（1）归结为解不等式组
且
，故函数定义域为：
（2）归结为解不等式组：
或
。
故函数定义域为
。
例1-1-2：求下列函数定义域。
（1）若
的定义域是
，求
的定义域。
（2）若
的定义域是
，求
的定义域。
解：（1） 归结为解不等式
，
即
，定义域为
。
（2）归结为解不等式组
，
故定义域为
。
例1-1-3：求
的表达式：
（1）已知
，
（2）已知
。
解：（1）由已知得
，故
。
（2）方法一：令
，则
，代入原函数式，得
，即
。
（注意：
的表达式与所用的字母符号没有关系）。
方法二：也可直接凑成
的表达式：
由已知
，
再将
换成
，得
。
例1-1-4：求下列函数的反函数：
（1）
，（2）
。
解：（1） 由
，解出
，
因为
，所以反函数为
。
（2） 由
，
解出
，
，
，
因为
，
所以反函数为
。
例1-1-5：求下列函数值。
（1）若
，求
。
（2）若
，求
。
解：（1） 由
，
所以
；
由
，所以
；
由
，所以
。
（2） 由
，所以
；由
，
所以
例1-1-6：判断函数的奇偶性：
（1）
（2）
。
解：（1） 方法一：依定义，有
即为奇函数。
方法二：由
为偶函数，
为奇函数，
故
为奇函数。
（2）类似（1）的方法可知
为偶函数。
例1-1-7：函数
是（）
A.偶函数 B.奇函数
C.非奇非偶函数 D.既是偶函数又是奇函数分析：因为
=
，
故选B。
例1-1-8：函数
的周期是（）
A.
B.
C.
D.
分析：因为
，故选D
例1-1-9：函数
是定义域内的（）
A.周期函数 B.单调函数 C.有界函数 D.无界函数分析：因为
，故选C。
例1-1-10：函数
与
的图形是（）
A.关于原点对称 B.关于轴对称
C.关于轴对称 D.关于直线
对称
分析：因为函数
与
是互为反函数，所以它们的图形关于直线
对称，故选D。
例1-1-11：若
，
，则
_________
解：
例1-1-12：函数
的定义域是_________
分析：要使上述函数有意义，
必须满足：
且
，即
且
。所以函数
的定义域是
