第十章 图像重建

第一节　概述

　　由物体截面投影来重建该截面图像是近年发展起来并获得广泛应用的图像处理技术。图像重建的最典型的应用是医学上的计算机断层摄影技术（CT技术）。它用于人体头部、腹部等内部器官的无损伤诊断，其基本方法就是根据人体截面投影，经过计算机处理来重建截面图像。

　　图像的投影在数学上的描述如下：如图像函数为 ，穿过 的一条线称为射线。 沿某一射线的积分称为射线积分，而射线积分的集合组成投影。若以坐标原点向射线作一垂线，以此垂线作为新坐标的一个轴 ，并构成新坐标系 很明显，新坐标系 是原坐标系 旋转 角的结果，二者存在下列变换关系：

　　 （10.1.1）

　　因此，射线积分可表达成

　　 (10.1.2)

　　其中积分途径是沿着射线进行的，而射线方程可写成

　　 （10.1.3）

　　其中 是原点到该射线的垂直距离。沿着一组平行射线取 的积分而组成的投影称为平行投影，图10-1-1表示两个平行投影的例子。显然，当旋转角 一定时， 仅是 的函数。我们定义 为 的 角位置的平行投影。二维函数 也称为 的雷顿（Radon）变换。此外，还可以沿着由点源辐射出来的一组射线取 的积分而组成投影，如图10-1-2所示，这种投影称为扇束投影。

图 10-1-1　平行投影

　　目前提出的图像重建方法有以下五种：

　　（1）联立方程法（也称矩阵法）；

　　（2）逆投影法；

　　（3）付立叶变换法；

　　（4）滤波──逆投影法（也称卷积法）；

　　（5）逐次逼近法。

图 10-1-2　扇束投影

　　最早提出的联立方程法，是一个价联立方程的重建图像的方法。对 个象素的图像，其未知数为 个。来自各个方向的投影数据是沿射线来的各象素数据之和。如果各投影方向的数据比 大，就可能设法建立由 个独立的一次方程组成的联立方程组。只要解出该联立方程组，就可求出全部的 个未知象素。此方法看起来简单，但实际使用时，要解一个庞大的联立方程组，既费时，又不实用。

　　逆投影法（又称求和法）是根据各投影值，向各个象素进行反投影，即根据扫描方向把和每个象素有关的投影求和，再求出对应的象素值。此方法的算法简单，但精度低，重建图像模糊，只用于早期CT中。

　　本章首先介绍最基本的付立叶变换法，然后重点叙述目前CT中普遍采用的滤波──逆投影法。逐步逼进法是一种代数重建方法，由于此方法简单，其迭代算法在计算机很易实现，也是一种常用的图像重建方法。另外，对影响重建图像质量的因素作了概括介绍。最后，概述了当前的CT系统设备。