第二节 付立叶变换法付立叶变换法进行图像重建的基础是“投影切片定理”。该定理指出二维图像的一维投影的付立叶变换和该图像的付立叶变换的中心截面之间的关系，并且利用这一关系可直接对图像投影的付立叶变换求反变换，从而得到该图像投影截面的重建图像。
投影切片定理：图像某方向投影的付立叶变换，等于该图像对应的角度所切割的中心截面的二维付立叶变换。该定理的说明如下：
设
为二维图像，其付立叶变换为
（10.2.1）
该图像在
轴上的投影为（如图10-2-1所示）
图 10-2-1 二维图像的二维坐标投影
（10.2.2）
对应的付立叶变换
（10.2.3）
将式（10.2.3）与式（10.2.1）比较得
（10.2.4）
上式表示二维图像
在
轴上投影的付立叶变换，等于该图像的二维付立叶变换在
时的值
，即为该二维图像付立叶变换的中心剖面。同理也可得
在
轴上投影为
（10.2.5）
如果所投影的不是在
轴或
轴上，而是在
轴夹角
的方向上，可用极坐标形式的二维付立叶变换来表示上述投影定理关系。如图10-2-2所示，设
射线和
轴夹角为
角，并和
射线构成一个旋转
角后的旋转坐标系
。很显然两坐标系之间的变换关系如式（10.1.1）所示。
图 10-2-2 二维图像向射线S投影
如将图像
向
轴投影可得
此时积分是沿路径
进行的。
该投影
的一维付立叶变换为
(10.2.7)
或
(10.2.8)
图 10-2-3和
的关系
如图10-2-3所示，令
(10.2.9)
即令
点是在一条和
轴成
角的直线上，并且它与原点的距离为
，则有
（10.2.10）
式（10.2.10）意味着当频率变量
和
满足关系式（10.2.9）时，二维图像
在与
轴成
角的
轴上投影的付立叶变换，恰好等于该
的二维付立叶变换。因此，要重建图像，只需对投影的付立叶变换取反变换就可得到，即
（10.2.11a）
或用极坐标表示
（10.2.11b）
这里需指出的是：投影函数是用极坐标表示的，其付立叶变换仅是对极轴变量的一维变换。如式（10.2.7）所示，
是中间变量，取决于投影线角度的变化。而重建的反变换式（10.2.11）则是对二维变量
（或
此时
应由（10.2.9）式计算）的二维反变换。由式（10.2.11）可看出，要想准确的重建原图像，必须向足够多的射线（许多
值）进行投影。
为了便于以后的讨论，将
的投影表示式（10.2.6）及其一维付立叶变换（10.2.7）改写为
（10.2.12）
(10.2.13)
式中
。其反变换为
（10.2.14）
如令
（10.2.15）
根据投影切片定理，用极坐标
表示的（10.2.11b）可改写为：
（10.2.16）
利用付立叶变换的共轭对称性，积分限由
换成
，
后，积分限由
换成
。上式可写成
（10.2.17）
若用下列符号表示：
（10.2.18）
则
（10.2.19）
因此，可得对对连续图像用付立叶变换法重建图像的步骤如下：
（１）根据式（10.2.13）计算出
个
方向上投影集合的付立叶变换，即求出不同
值的
；
（２）利用式（10.2.18）求出
，即求
和
乘积之付立叶变换；
（３）由式（10.2.19）对于所有
方向上的变换结果
求和，便可求出重建图像
。
由于图像的象素总是有限的，因此
也是有限的。当用数字计算机对上述步骤进行图像重建时，首先需对图像进行离散取样和量化，实际图像的空间取样和投影情况如图10-2-4所示。
图 10-2-4 投影信号的取样设图像存在于以原点为中心，半径为
的圆域中，在此域以外，投影
，又设极轴方向取样间隔为
，其中
为取样点数，而极角取样间隔为
（简记
），
为角度取样点数。于是投影的取样信号为
（10.2.20）
又令重建图像的取样间隔和取样点数在
和
方向上相同，且取样间隔为
，取样点数
，那么
的离散取样值可以用符号
表示。即
可表示为
（10.2.21）
在频率域中，由于频率变化范围为
，或者由
到
，共取样
点，那么可得
（10.2.22）
频率变量
为
（其中
为任一整数） （10.2.23）
考虑式（10.2.20）、（10.2.23），将式（10.2.13）改写为
其离散形式近似为
（10.2.24）
式中
若记
（10.2.25）
则式（10.2.18）可改写为
代入式（10.2.23）和式（10.2.25）得
（10.2.26）
或者写成极坐标形式
（10.2.27）
式中
最后，式（10.2.19）可改写为
（10.2.28）
这样就求得了离散图像的付立叶变换重建图像的全部公式。实际步骤如下：
（１）根据投影数据，对极轴变量
取一维付立叶变换，即计算（10.2.24）式，并由（10.2.25）式求出
；
（２）由式（10.2.26）或式（10.2.27）计算出
的付立叶反变换
；
（３）由式（10.2.28）计算重建图像
。
从上述步骤不难看出，重建一幅图像需进行正、反付立叶变换各一次，而避免了二维付立叶变换之计算。
