第四节 逐步逼近法

　　逐步逼近法是一种代数重建技术，它本身就是一个逐次逼近的迭代算法。其基本思想是事先对未知的各象素给予一个初始估值，然后利用这些假设数据去计算各射线穿过对象时可能得到的投影值。再用它们和实测投影值进行比较，按照差异获得一个修正值。根据这些修正值，修正各对应射线穿过的绪象素值。如此反复迭代，直到计算值和实测值接近到要求的精度为止。

　　具体实施步骤如下：

　　1.对于未知图像各象素均给予一个假定的初始值，从而得到一幅初始计算图像。一般可假设各象素的初始值均为0；

　　2.根据假设图像，求对应各射线穿过时，应得到的各个相应投影值 ；

　　3.将计算值 和对应的实测值 进行比较，然后取对应差值 作为修正值；

　　4.用每条射线的修正值来修正和该射线相交的绪象素值；

　　5.用修正后的象素值重复1～4步，直到计算值和实测值之差，即修正值小到所允许的精度为止。

　　只要所测得的投影值 组成一个独立的集合，那么上述的代数重建将收敛于唯一解。

　　下面举例说明逐步逼近法重建图像的过程。为了简单起见，我们假设被测横截面只有6个象素，如图10-4-1(a)所示。设6个象素未知密度分别为 ，由图10-4-1（b）所示的扫描路径实测的投影值为 ,由图可知

　　

图 10-4-1　被测横截面的投影值

　　现在的问题是如何根据实测的投影值 如何重建图像，即如何求出各象素密度值 。

　　例如，根据图10-4-1(c)所示的6个象素值，给出的投影值为 , , , , , 。现用表10-1说明逐步逼近法的重建过程。该表的形成过程如下：

　　（１）设初始象素集合 ；

　　（２）计算诸投影和 都等于零；

　　（３）投影和的修正值可由下式给出

　　

　　各式中均用9除是为了保持平均的 射线密度不变。

　　（４）将穿过同一象素的不同射线之投影修正值叠加起来作为该象素的修正值，即取修正值分别为

　　

　　（５）将各象素的修正值和其前次迭代的结果加起来，得到修正后的象素本次迭代值，即

　　

　　然后将集合 作为下一次迭代的初始值，重复上述过程，直到前后两次迭代误差小于给定值为止。从表不难看出，当迭代次数很大时，其结果应趋向于各象素的实际值。

　　逐步逼近重建图像的方法比较简单，它采用的迭代算法对计算机是很易实现的。它比矩阵法求解联立方程组的计算速度大大地提高，其精度比逆投影法高，因此，也是一种较为广泛采用的投影重建图像的方法。