第二节　图像的线性运算

　　一、二维连续性系统

　　设二维连续线性系统的映射为 ，输出函数为 ，输出函数为 ，其输入和输出的关系表示为：

　　　　　　　　　　　　　(3.2.1)

　　叠加原理

　　　　　　　　　　(3.2.2)

　　式中 和 是常数，有可能为复数。

　　二维狄拉克（Dirac）冲激函数

　　　　　　　　　　(3.3.3)

　　它具有以下重要性质：

　　　　　　(3.2.4)

　　 (3.2.5)

　　 函数的筛选性：

　　　　　(3.2.6)

　　二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的一维冲激函数的乘积，即：

　　　　　　　　　　　　　　(3.2.7)

　　 函数还有一个很有用的性质

　　　　　　　(3.2.8)

　　式中 。

　　二维冲激响应函数

　　将二维狄克拉冲击函数 作为输入的输出函数。

　　即 　　　　　(3.2.9)

　　在光学系统中，此冲激响应一般称为点扩散函数（Point spread 　function，简称PSF）

　　空间不变系统（或位移不变系统）

　　如对应位于 平面中 处的点源 的响应为 ，则该线性系统称为空间不变系统。它表示输出仅在 方向和 方向分别移动 和 而已，而函数形状不变。对空间不变系统：

　　　　　　　　　(3.2.10)

　　卷积

　　　　(3.2.11)

　　记为：　　　　　　　（3.2.12)

　　卷积积分也可以写成下列形式：

　　　　　　　(3.2.13)

　　相关

　　函数 的自相关函数定义为

　　　(3.2.14)

　　二个函数 和 的互相关函数定义为

　　　（3.2.15）

　　二、二维连续付立叶（Fouricr）变换

　　在数字信号处理等课程中已详细介绍了付立叶变换及其性质。本节首先简要介绍一维连续付立叶变换，然后很容易推广到二个变量的二维连续付立叶变换。

　　（一）一维连续付立叶变换

　　如果实变量函数 是连续可积的，即 ，且 是可积的，则付立叶变换对一定存在。在实际应用中，上述条件一般总是可以满足的。

　　一维连续付立叶变换对表示为：

　　　　（3.2.16）

　　　　（3.2.17）

　　式中 ， 为频率变量。

　　如果 考虑为实函数，它的付立叶变换通常是复数形式，即：

　　　　　　　　　　　　　　（3.2.18）

　　式中 和 分别是 的实部和虚部。式（3.2.18）可表示为指数形式：

　　　　　　　　　　　　　　　　(3.2.19)

　　式中 为幅值函数，称为 的付立叶谱。 称为相角。

　　付立叶谱的平方，称为能量谱或功率谱。它表示为：

　　　　　　　　　　　(3.2.20)

　　例１： 是一门函数，如图3-2-1(a)所示，它表示为

　　

　　其付立叶变换为：

　　

　　最后一步是利用尤拉公式 推导而得。

　　所对应的付立叶谱由下式给出

　　

　　该付立叶谱是一 函数，如图3-2-1(b)所示。

图 3-2-1　门函数和它的付立叶谱

　　（二）二维连续付立叶变换

　　如果二变量函数是连续可积的，即，且 是可积的，则二维连续付立叶变换对表示为：

　　　　(3.2.21)

　　　　(3.2.22)

　　式中 是空间频率变量。

　　与一维情况一样，二维函数的付立叶谱、相位和能量谱可分别由下列关系式给出。

　　　　　　　　　　　　　(3.2.23)

　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.2.24)

　　　　　　　　　　　　　　(3.2.25)

　　例２：二维函数 如图3-2-2(a)所示，它表示为：

　　

　　其二维连续付立叶变换为：

　　

　　对应的付立叶谱由下式给出：

　　
　　　　　　　　　　
　　这是一个二维的 函数，如图3-2-2（b）所示。

图 3-2-2　矩形体函数和它的付立叶谱