第四节　其他离散图像变换

　　一、离散图像变换的一般表达式

　　（一） 图像变换的代数表达式

　　二维离散付立叶变换的代数表达式，可以用通用的关系式来表示

　　 （3.4.1）

　　 （3.4.2）

　　式中 ，而 和 称为正变换核核反变换核。

　　如果 （3.4.3）

　　　　 (3.4.4)

　　则称正、反变换核是可分离的。

　　如果 和 , 和 在函数形式上相同，那称此变换核是加法对称的。在这种情况下，式（3.4.3）和（3.4.4）可表示成

　　 （3.4.5）

　　 (3.4.6)

　　二维付立叶变换对是式（3.4.1）和式（3.4.2）的一个特殊情况，它们的核为：

　　

　　

　　他们都是可分离和对称的，因为

　　 （3.4.7）

　　 （3.4.8）

　　如上所述，二维付立叶变换可以利用变换核的可分离性，用二次一维变换来实现。对于其他的图像变换（如下面介绍的沃尔什变换，离散余弦变换等），只要其变换核式可分离的，同样也可将一个二维变换用二次一维变换来实现。

　　首先，对 的每一行取一维变换，得到

　　 （3.4.9）

　　式中 。然后沿着 的每一列取一维变换，其结果为

　　 （3.4.10）

　　式中

　　当然，如果首先对 的每一列取一维变换得到 ,再沿每一行取变换得到 ,最后结果是一样的。上述的结论对反变换核也是适用的。

　　（二）图像变换的矩阵表示式

　　数字图像都是实数矩阵，而且多为 的方阵。设 为图像 的灰度值方阵。由矩阵理论可知，总可经过一系列初等变换，找到它的同型矩阵 ，且

　　 (3.4.11)

　　式中 为 方阵， 为 的满秩矩阵。

　　由于 式满秩矩阵，故他们为可逆矩阵，其逆矩阵为 。分别用 左乘， 右乘（3.4.11）式，得到

　　 （3.4.12）

　　图像变换的矩阵表示式与代数表示式其本质是一样的，将（3.4.11）式写成代数表示式如下

　　

　　式中 ,这就是变换核可分离时图像的代数表示式。对于二维付立叶变换，则有

　　

　　

　　式中 。对于对称可分离的核，其 和 的形式是相同的。

　　上述的两种图像变换的通用表示式，表示了付立叶，沃尔什，哈达玛，余弦等变换的通用表示式。付立叶变换已做过详细介绍下面将常用的其他图像变换作一简要介绍。

　　二、离散沃尔什（Walsh）变换

　　上面介绍的付立叶变换是由指数函数，即正弦－余弦三角函数为基本正交函数的级数展开而构成。它在信号处理、图像处理以及系统设计中有很重要的应用。这主要因为在解决实际问题时，频域法往往有特别方便之处。本节介绍的沃尔什变换时由二个树枝，即＋1或者－1的基本函数的级数展开而成的 ，它也满足完备正交特性 。由于沃尔什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的二个状态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信号处理。

　　（一）一维离散沃尔什变换

　　设 ,一维离散沃尔什变换表示为

　　 （3.4.13）

　　式中 。后一部分为沃尔什变换核

　　 （3.4.14）

　　其中 是 的二进制表示的第 位值。如 ， 时，若 （二进制是110）则 。

　　沃尔什变换核为

　　 （3.4.15）

　　其沃尔什反变换如下式表示

　　 （3.4.16）

　　现讨论沃尔什变换的规律。当 时的 值如表3-4-1所示。所对应的沃尔什变换核如表3-4-2所示。表中＋号表示＋1，－号表示－1，且忽略了常数项。

表 3-4-1　N=2，4，8时的 的值

表 3-4-2　N=2，4，8时的沃尔什变换核

　　从3-4-2可看出，沃尔什变换核是一个对称阵列，其行核列是正交的。同时，正、反变换核除相差 这个常熟项外，其他完全相同。因此，沃尔什正变换的任何算法都可直接用来求反变换，这时只需将算法结果乘以即可。沃尔什变换核的求去可以从下例说明。

　　例3-3 求沃尔什变换核矩阵元素

　　解 由式（3.4.13）得沃尔什变换为

　　

　　

　　

　　

　　将此结果与表3-4-4中， 得变换核相对照，就可发现 方括号中各项得符号即为表中变换核的符号。另外，还可看出沃尔什变换本质上是将离散序列 的各项值的符号按一定规律改变，进行加减运算，因此，比要采用复数运算的DFT要简单得多。

　　（二）二维沃尔什正变换核和反变换核为

　　 （3.4.17）

　　 （3.4.18）

　　此处，为使正、反变换核有相同形式，取有相同得常数项 。那么，所对应的二维离散沃尔什正、反变换为

　　 （3.4.19）

　　 （3.4.20）

　　沃尔什变换核是可分离的和对称的。即

　　 (3.4.21)

　　因此，二维沃尔什变换也可以分成二步一维沃尔什变换来进行，其原理与二维DFT相似。

　　二维沃尔什变换的矩阵表示式为

　　 （3.4.22a）

　　其中 为 阶沃尔什变换核矩阵。其二维沃尔什反变换矩阵表示式为

　　 (3.4.22b)

　　例3-4 一个二维数字图像信号矩阵为

　　

　　求此信号的二维DWT

　　解

　　其中 时的二维沃尔什变换为

　　

　　即

　　

　　例3-5 如二维数字图像信号是均匀分布的。即

　　

　　求此信号的二维DWT

　　解

　　

　　从上二个例子可看出，二维沃尔什变换具有某种能量集中，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，应用二维沃尔什变换可压缩图像信息。

　　（三）快速沃尔什变换(Fast Walsh Transform-FWT)

　　一维沃尔什变换也有快速算法，在形式上于3.3.5节叙述的FFT算法类似，其差别仅在于FFT的所有指数项 在FWT中令它等于1。FWT的基本关系为

　　 （3.4.23a）

　　 (3.4.23b)

　　式中

　　综上所述，沃尔什变换是将一个函数变换乘取值＋1或－1的基本函数构成的奇数，用它来逼近数字脉冲信号时要比付立叶变换有利。因此，它在图像传输，通信奇数核数据压缩中获得了广泛的使用。同时，沃尔什变换是实数，而付立叶变换是复数，所以对一个给定的问题，沃尔什变换所要求的计算机存储量比付立叶变换要少，运算速度也快。

　　三、离散哈达玛（Hadamard）变换

　　哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达玛变换矩阵也是一个方阵，只包括＋1核－1矩阵元素，各行或各列之间彼此是正交的，即二行相乘后的和数必定为零。哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换不同之处仅仅是行的次序不同。哈达玛变换的最大有点在于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用二个低阶的直积求得。这个特点使人们更愿意采用哈达玛便会那，不少文献中常采用沃尔什－哈达玛变换这一术语。

　　（一）一维离散哈达玛变换

　　 （3.4.24）

　　其中 ，

　　 是 的二进制表示的第 位。

　　对应的一维哈达玛变换式为：

　　 （3.4.25）

　　哈达玛反变换与正变换除相差 常熟项外，其型式基本相同。它表示为

　　 （3.4.26）

　　哈达玛变换具有简单的递推关系。如 ，最低阶 的哈达玛矩阵为

　　 （3.4.27）

　　那么， 阶哈达玛矩阵 与 阶哈达玛矩阵 之间的递推关系可用下式表示

　　 （3.4.28）

　　例如 的哈达玛矩阵为

　　 (3.4.29)

　　 的哈达玛矩阵为

　　 （3.4.30）

　　在哈达玛矩阵中，沿某一列符号改变的次数通常称为这个列的列率。如式（3.4.30）表示的 的八个列的列率的0，7，3，4，1，6，2，5。但在实际使用中，常对列率随 增加而增加的次序感兴趣，此时称为定序哈达玛变换。

　　定序哈达玛变换核和反变换核定义为

　　 （3.4.31）

　　 (3.4.32)

　　其中：

　　

　　

　　 （3.4.33）

　　……

　　例 的定序哈达玛变换核

u\x	0	1	2	3	4	5	6	7
0	+	+	+	+	+	+	+	+
1	+	+	+	+	-	-	-	-
2	+	+	-	-	-	-	+	+
3	+	+	-	-	+	+	-	-
4	+	-	-	+	+	-	-	+
5	+	-	-	+	-	+	+	-
6	+	-	+	-	-	+	-	+
7	+	-	+	-	+	-	+	-

　　很显然，此式列率为0，1，2，3，4，5，6，7。是随 增大次序。

对应的定序哈达玛变换对为

　　 （3.4.34）

　　 (3.4.35)

　　（二）二维离散哈达玛变换

　　二维离散哈达玛变换对为

　　 （3.4.36）

　　 （3.4.37）

　　同样，哈达玛变换核是可分离和对称的，所以有

　　 （3.4.38）

　　这样，二维哈达玛变换也可分为二步一维变换来完成。同样也存在快速算法FHT，其原理与FWT类似，这里就不累述了。

　　四、离散余弦变换（Discrete Cosine Transform）

　　（一）一维离散余弦变换（DCT）

　　一维DCT的正向变换核为

　　 （3.4.39a）

　　 (3.4.39b)

　　式中：

　　

　　由此得一维DCT

　　 （3.4.40a）

　　 (3.4.40b)

　　式中 ， 是 的DCT。

　　同样，一维DCT反向的变换核取与式（3.4.39）相同的形式。

　　它为

　　 （3.4.41）

　　式中

　　（二）二维离散余弦变换

　　二维DCT正变换核定义为

　　 （3.4.42a）

　　 (3.4.42b)

　　式中 ，而

　　如二维DCT反变换核也取与式（3.4.42）相同的形式，那么，可得二维DCT变换对

　　 （3.4.43a）

　　 (3.4.43b)

　　式中 和

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3.4.44）

　　式中 。

　　从式（3.4.40）可看出二维DCT变换核是可分离的，因此二维DCT可逐次应用一维DCT算法进行计算。而且，从式（3.2.16）和（3.2.18）中可以看出：付立叶变换中指数项通过尤拉公式 和 进行分解后，其付立叶变换实数部分对应于余数项，其虚数部分对应于正弦项，因此，离散余弦变换可从付立叶变换的实数部分求得，即DCT可改写成下列形式

　　 （3.4.45a）

　　 (3.4.45b)

　　式中 。

　　其中，对 有 代表括号内的项取实数部分，求和的项就是 个点上的DCT。

　　同样，如考虑DFT的序数部分，对应着离散正弦变换DST，详见『3.1』。

　　五、K-L变换（Karhunen-Loeve Transform）

　　变换也称为特征向量变换或霍特林（Hotelling）变换。变换是以图像的统计性质为基础的，假定 的图像 在某个传输通道中传输了 次，因为受到各种因素的随机干扰，接收到的是一个图像集合

　　

　　对第 次获得的图像分 可用 维向量 表示。

　　 （3.4.46）

　　其中 代表 的第 个分量。建立向量 的方法之一是将 的第一行（即 ， ，…， ）作为 的第一组的 个分量；将第二行（即 ， ，…， ）作为第二组的 个分量，以此类推。当然还有一种方法是利用 列代替行，其方法类似。

　　 向量的协方差矩阵定义维

　　 （3.4.47）

　　其中“ ”是求期望值，“ ”表示专置。平均值向量 表示为

　　 (3.4.48)

　　在离散情况下，由于 是有限值，其平均值向量 和 向量的协方差矩阵 可近似表示为

　　 （3.4.49）

　　 （3.4.50）

　　式中 是 维， 是 维矩阵

　　下面推导 变换式。设 和 是 的特征向量和对应的特征值，其中 ，并设特征值已按减序排列，即 。那么， 变换矩阵的行就是 的特征值，即 变换矩阵 表示为

　　 （3.4.51）

　　式中 表示第 特征向量的第 个分量。这样可得 变换式为

　　 （3.4.52）

　　式（3.4.52）表示 变换式由中心化图像向量 与变换矩阵 相乘而得的变换图像向量 。

　　 变换的基本性质有：

　　1. 的均值向量 ，即为零向量0。其证明如下：

　　 (3.4.53)

　　2. 向量的协方差集镇 其证明如下：

　　

　　代入式（3.4.52）得：

　　

　　代入式（3.4.47），最后得

　　 （3.4.54）

　　3.由Lawley和Maxwell『1963年』证明 式对角矩阵，它得元素等于 得特征值。即

　　 （3.4.55）

　　式（3.4.55）表示 的元素是不相关的，这是因为除主角线上的元素外其他元素都等于0。

　　4． 反变换

　　因为 是实对称矩阵，总能找到一个标准正交的特征向量集合，使 ，那么可得 反变换式

　　

　　 变换的最大优点是去相关性好，可用于数据压缩和图像旋转。 变换是非分离的。二维是不可分的。同时，它的计算较复杂，其变换器必须求其图像集合的 协方差矩阵的特征值和特征向量。因此，妨碍了它的实际应用。