第五节　二维线性数字滤波

　　一、引言

　　数字图像处理常有二类处理方法，一类是对图像中各象素点直接进行空间域处理的空域法。如用梯度运算或用拉普拉斯算子进行轮廓增强；用平滑算子滤除随机噪声；用卷积算法来实现各种空间滤波等。另一类处理方法称为频域法，一般是通过 DFT将空间信息变为频域信息，然后在频域中进行各种处理后，再经过逆DFT恢复到空域中来。

　　应用频域处理的好处 是根据空间频率分布 既便于在频域进行滤波处理，又便于进行特征提取 。根据图像的频率特性分析 ，一般认为整个图像的对比度和动态范围取决于图像信息的低频部分，而图像中的边缘轮廓及局部细节取决于高频部分。因此可采用二维数字滤波方法来进行图像处理，如采用高通滤波器有助于突出边缘轮廓和图像细节部分，而用低通滤波器可以减少图像噪声。同时，图像信息由空间域变换到频域后，信息的相关性大为下降，有利于数据压缩，对计算机存储、处理及传输都是有利的。

　　本节主要介绍二维数字滤波器的性质及一般设计方法，最后简单介绍二维数字滤波器的稳定性问题。

　　二、二维数字滤波器的性质

　　如果二维离散信号 作为输入，那么线性系统的输出 可用下式表示

　　 (3.5.1)

　　式中 称为系统的冲击响应。

　　上式的右端称为二维卷积，该系统可称为二维线性系统或二维滤波器。

　　如果二维滤波器在 时，满足 条件，则称为可实现的因果系统。在满足下式时

　　 (3.5.2)

　　此二维滤波器是稳定的。当冲激响应可用下式表示时

　　 (3.5.3)

　　则此二维滤波器称为可分型(separable),否则称为不可分型。当滤波器的输入也是可分时，即 它的输出也

　　可分解为二个一维卷积的乘积，即

　　 (3.5.4)

　　如果二为滤波器可用差分方程表示时

　　 (3.5.5)

　　则称为递归型滤波器。

　　冲激响应 的二维 变换为

　　 (3.5.6)

　　其 反变换换为

　　 (3.5.7)

　　式中 分别为 平面上包围其原点的闭合曲线。

　　 的二维付立叶变换为

　　 (3.5.8)

　　将递归型滤波器的输入和输出进行 变换后，可得

　　

　　其传递函数为二个多项式之比的有理函数

　　 (3.5.9)

　　它的频率特性或频率传递函数为

　　 (3.5.10)

　　与一维相似，二维的冲激响应为有限时，则称为二维有限冲激

　　响应（FIR）滤波器；为无限时，称为二维无限冲限响应（IIR）滤波器。同样，与一维情况一样，二维FIR和IIR型两类滤波器的设计和实现方法不太相同。二维FIR滤波器可用非递归方式实现，它也被称为二维非递归型数字滤波器。二维FIR滤波器可用二维冲激响应函数 与二维输入信号 直接卷积求得，实现卷积滤波。当然也可以用快速卷积法实现即以快速变换方法（如FFT算法）先对 求变换函数，然后将它与滤波器传递函数相乘，再求这乘积的反变换，就可得有用信号 。二维FIR滤波器总是稳定的，容易设计成零相移或线性相移滤波器，因此在图象处理中获得广泛的应用。

　　二维 IIR滤波器可用空间域方法按其差分方程用递归方式实现，它被称为二维递归型数字滤波器。它也可用频率域法以逼近技术实现。从减少计算机运算时间来说，用 IIR滤波器要实现递归滤波所需要的运算量比用FIR 滤波器实现卷积滤波要少得多。因此，在雷达，地震等数据处理一般要求速度较快的场合，采用二维IIR滤波器为宜。但是由于IIR滤波网络和系统存在着可能不稳定的问题，对于二维线形系统的稳定性判断又比较困难，这就妨碍了它的一般应用。这个问题仍在继续研究之中。

　　三、二维FIR数字滤波器的设计方法

　　二维FIR滤波器的设计可由一维FIR滤波器设计方法直接推广而得。本书主要介绍比较简单 、常用的窗函数法和频率抽样法。

　　（一）二维窗函数设计法

　　1.基本原理

　　与一维情况相似，二维FIR滤波器的窗函数法的基本原理是给定二维理想滤波器的频率特性 ，其冲激响应为 。此时 为无限的序列域，为了以有限冲激响应滤波器实现非递归滤波，必须用窗口函数 截断为有限长的冲激响应来近似代替，即用窗口函数 乘以冲激响应函数 。

　　因而可得

　　 (3.5.11)

　　其中对 的 ， 为常数

　　对应于频率域中为窗函数的付立叶变换与理想滤波器频率响应进行卷积运算，即

　　 (3.5.12)

　　其中 、 分别为 、 的二维付立叶变换。现在的问题是如何选择二维窗口函数 的形状使 在 的不连续点附近近似 ，且 没有过大的波纹。众所周知，一个好的窗口函数 的付立叶变换 在中央应有较高的峰值而旁瓣很小。

　　与设计一维数字滤波器的窗口函数相似，二维窗函数也有矩形窗、凯塞（Kaiser）窗、海宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗等。实践证明，这些二维窗函数与对应的一维窗函数的特性相比，其优劣程度是差不多的。

　　为进行窗函数设计，下面首先介绍二维理想滤波器的频率特性及其对应的冲激响应，然后介绍如何通过一维窗函数求二维窗函数，即二维窗定理最后简述常用的二维窗函数的形式。

　　2.二维理想滤波器的频率特性及其冲激响应

　　（1）低通滤波器的频率特性

　　 (3.5.13)

　　式中 .将式(3.5.13)进行二维付立叶反变换，可得冲激响应为

　　 (3.5.14)

　　式中 为第一类一阶贝塞尔函数。

　　（2）圆形带通滤波器的频率特性及其冲激响应

　　 (3.5.15)

　　 (3.5.16)

　　（3）理想圆形高通滤波器的频率特性及其冲激响应

　　 (3.5.17)

　　 (3.5.18)

　　3.二维窗函数

　　二维窗函数很容易从一维窗函数推广而得。如果一维窗函数 是个特性良好的、对称的窗函数，则将 换以 就得二维窗函数 ，即

　　 (3.5.19)

　　且有

　　 (3.5.20)

　　式中 分别为理想的一维和二维滤波器的频率响应，而 和 分别为一维窗和二维窗的付立叶变换。

　　上述关系也称为二维窗定理。

　　下面介绍几个常用的二维窗函数

　　（1）二维矩形窗函数

　　 (3.5.21)

　　对应的频率特性为

　　 (3.5.22)

　　（2）圆形对称窗函数

　　 (3.5.23)

　　（3）二维凯塞窗函数

　　 (3.5.24)

　　式中 是零阶贝塞尔函数， 和 是与窗特性有关的常数。

　　（二）二维频率抽样设计法

　　用频率抽样法来设计数字滤波器是最后求得滤波器的二维DFT，而其冲激响应则可由DFT的反变换求得。这种设计方法是对二维连续频率特性的近似。

　　如果把冲激响应 定义在有限区域内： ，

　　 。它的 变换为

　　 (3.5.25)

　　用 代入上式可得出滤波器频率响应

　　 (3.5.26)

　　如令

　　

　　

　　则可得二维DFT表示式

　　 (3.5.27)

　　其离散付立叶饭变换（IDFT）为

　　 (3.5.28)

　　将式(3.5.28)代入式(3.5.26)得

　　 (3.5.29)

　　将式(3.5.29)简化为由DFT系数表示的频率内插公式

　　 (3.5.30)

　　其中 为内插函数；其值表示为

　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3.5.31)

　　方程式(3.5.30)为二维频率抽样滤波器的设计基础。由此式可见滤波器的连续频率响应是移位的内插函数 经DFT系数 加权后的线性组合。正如同一维情况一样，DFT系数就是频率采样值。在此设计方法中，通常利用大多书频率抽样值等于所需的频率响应的数值，其余没有规定能够的频率抽样值可作为自由变量，可以根据某种准则来确定它的最佳值。

　　对于线形相位的二维频率抽样滤波器，可通过DFT系数的对称关系加以简化。当然采用线形规划方法可确定过渡带内频率抽样点的最优值，且在通常和阻带内使波纹最小。

　　四、二维IIR数字滤波器的设计方法

　　二维无限冲激响应（IIR）数字滤波器的设计比较困难，这是因为它的二维频率响应对设计参数来说不是线性的，故用于设计二维FIR滤波器的最优化技术不能直接用于IIR滤波器的设计。

　　二维 IIR数字滤波器的设计主要包括二个问题：稳定性与最优逼近。稳定性问题将在下节讨论。最优逼近问题是在稳定的前提下，如何选择由式(3.5.10)所示的滤波器的系数 和 ，使特性逼近于所要求的频率响应，它主要有二种设计方法：空间域法和频率域法。本节主要介绍空间域设计方法，其频率设计方法见[3•14]。

　　与一维IIR滤波器的时域法一样，二维IIR滤波器的空域法的基本原理是采用最小均方误差准则，使所设计的滤波器的冲激响应尽可能逼近于理想滤波器的冲击响应函数，从而使所设计的滤波器的频率响应 逼近于缩要求的理想滤波器的频率响应 。

　　设所希望的理想滤波器的冲激响应是

　　 ,其中 。

　　相应的转移函数是：

　　

　　如要设计的近似的二维IIR滤波器的传递函数是

　　 (3.5.32)

　　其中分子和分母多项式是

　　

　　

　　式中为任意常数。一般情况下， 。又系数 。根据式(3.5.32)得

　　

　　因为两个变量 变换多项式相乘等效于它们数组的卷积，即

　　 (3.5.33)

　　式中 。在此范围内定义了系数 ，在此范围外， 等于0。

　　我们定义了一个整数集

　　

　　再定义整数集 为 所有大于0的其它值的集

　　

　　符号“ ”表示包含，“ ”表示不包含。因此，对 来说， 的值尚未确定。而对于 来说， 。根据式(3.5.33)和 ,可得到

　　

　　此时 , 不同时为0。

　　如果适当地选择 。则 将近似于单位抽样响应 ,故可写出

　　 (3.5.34)

　　此时 , 不同时为0,

　　式中 表示两个集 和 相重叠部分。故 必须同时是 和 两个集里的数。 集定义为

　　

　　再定义一个误差函数 。将它加在式(3.5.34)式的右边,得到等式

　　 (3.5.35)

　　其中 。 不同时为0。

　　如将 放进求和式内可得

　　 (3.5.36)

　　其中

　　这里需要说明的是式(3.5.35)中要求 不同时为0，而 表示 同时为0的 ,将他放进求和式即得式(3.5.36),此式的最后结果 可同时为0。

　　为得到最优近似，可选择 使均方误差 最小：

　　 (3.5.37)

　　式中

　　上式除了 以外。其余 个系数 没有确定。利用一般求导方法，即将式(3.5.37)对 求导数，并令其导数方程等于零，几能得到均方误差最小时的系数 。由此可得到 个下列形式的方程组

　　 (3.5.38)

　　其中： 不同时为零，

　　 不同时为零。其中相关系数 和 分别是

　　 (3.5.39)

　　 (3.5.40)

　　其中 。

　　因此，上面相关系数等式描述了一组 个齐次线性方程式，联立求解后可得最小均方误差的滤波器系数 。

　　在滤波器传递函数的分母多项式 求出之后，还要计算分子多项式 。计算 的一种方法是以 与所要求的传递函数 之间的均方误差为最小来计算它的系数 ，这是二维离散维纳滤波问题(见第七章)， 由理想关系式，可以看出如何从给定输入 和所要求的输出 来寻求最佳滤波器的分子多项式 。

　　另一个较简单的但不太精确的方法，是由 的理想关系推导有限区域序列 与 的卷积。得到 ，即

　　 (3.5.41)

　　五、二维数字滤波器的稳定问题

　　如前所述，二维FIR滤波器(即非递减滤波器)的冲散响应序列 是有界的，也就是 在有限区域以外为零。因此，它总是满足稳定条件

　　

　　这就是说，对于二维IIR滤波器总是稳定的。

　　但是，对于二维IIR滤波器（即非递减滤波器），其冲激响应函数 存在于无限区间，这就要求在无限区间内 绝对可和，即要求 。

　　对于因果性递归型滤波器，求和运算应从零开始，则其稳定的充要条件是

　　 (3.5.42)

　　因此，对于二维IIR滤波器要考虑稳定性的问题，即二维IIR滤波器有可能是稳定的，也有可能是不稳定的。如何判断二维IIR滤波器稳定性呢？一种方法是在空间域求无限项之和，用式(3.5.42)进行判断，其稳定性，如满足为稳定的，否则为不稳定的。但此方法要计算无限项和，很不方便。

　　还有一种方法是二维IIR滤波器的传递函数用有理分式表示，按频域内的极点来判断其稳定性，这比较方便。根据式(3.5.9)，二维IIR滤波器的传递函数 为

　　 (3.5.43)

　　其中 和 为一组常数，并设 ，这并不失去一般性。 和 为 的多项式

　　 (3.5.44)

　　 (3.5.45)

　　根据下面定理可判断二维IIR滤波器的稳定性。

　　定理：对于具有式(3.5.43)有理分式传递函数的因果性IIR滤波器，其稳定性的充要条件是：当且仅当 和 同时大于或等于1时，分母多项式 不为零。

　　换句话说，在区域 内：

　　 (3.5.46)

　　IIR滤波器的传递函数是解析的，也就是它的分母多项式不等于零，

　　即 。

　　正如一维IIR滤波器的稳定条件要求传递函数在 平面单位圆外没有极点。该定理对二维IIR滤波不是极点而是有 所决定的多维表面。具体判别方法是把 面上 的区域以 的关系映射到 面上，如果映射得到的图形完全在圆 之内，则滤波器稳定。或者把 平面上 的区域以 关系映射到 平面上，如果映射得到的圆形完全在圆 之内，则滤波器稳定。由此可得出下列一个推论：

　　推论：如果把 平面的单位圆 ,根据映射关系式 映射到 平面，当且仅当 平面的 没有和单位圆 相重叠时，则此滤波器是稳定的。

　　如所设计的二维 IIR滤波器为不稳定时，可以改变分母多项式的系数 ，使之满足稳定条件。