第三节 预测法编码预测法编码有 线性预测和非线性预测两类 ，可以在一幅图像内进行即所谓帧内预测法 ，也可以在多幅图像之间进行即所谓帧间预测法 。线性预测法通常称为差值脉冲编码调制法（ Differential Pulse Code Modulation），简称DPCM。Oliver早在1952年就对图像线性预测法作了理论研究。1958年Graham用计算机进行了DPCM模拟。1966年O’meal对DPCM进行计算机系统模拟。此后DPCM的研究从理论到实践各个方面展开，由于DPCM算法简单，硬件容易实现，因此在图像压缩技术中获得较多的应用。
这节主要讲座线性预测法DPCM的基本原理。主要是最佳线性预测和最佳量化及其自适应方法等。
DPCM基本原理是基于图像中相邻像素之间具有较强的相关性。每个像素可以根据以前已各的几个像素值来作预测。因此在预测法中编码中，编码和传输的并不是像素取样值本身，而是这个取样值的预测值（也称估计值）与其实际值之间的差值。
设输入信号
为
时刻的亮度取样值。
为根据
时刻以前已知的像素亮度取样值
对
所作的预测值。
为差值信号，也称误差信号
（5.3.1）
为量化器的量化误差。
为量化器输出信号
(5.3.2)
接收端输出为
那么在接收端复原的像素值
与发送端的原输入像素值
之间的误差为：
(5.3.3)
由此可见：在DPCM系统中的误差来源是发送端的量化器，而与接收端无关，若去掉量化器，那么
，则
，这样就可以完全不失真的恢复输入信号
，从而实现信息保持编码。若
，那么输入信号
和复原信号输出
之间就一定存在误差，从而产生图像质量的某种降质，这样的DPCM系统实现的是保真度编码。在这样的DPCM系统中就存在一个如何能使误差尽可能减少的问题。应用均方误差为极小值准则来获得DPCM，称其为最佳线性预测。
假定一幅二维静止黑白图像,经过逐帧行扫描而获得的图像信号
是一个均值为零、方差为
的平稳随机过程。
在
时刻抽样值分别为
。那末，根据
到
的
个抽样值，就可以按式（5.3.4）获得
时抽样值的线性预测值
其中，
为线性预测系数，都是一些待定常数，与
无关。如果
是已知的，或已设计确定的，那么就可以按式（5.3.4）构成线性预测编码器即DPCM，其框图见图5-3-1。
图 5-3-1 DPCM原理框图
图5-3-1中略去DPCM系统框图中的量化器。
代表
个节拍的延时元件。对于各个
的设计，一般采用最小均方误差准则，由一组典型的图像统计特性，按下列方法计算其结果，以获得最佳线性预测值
。
定义
的均方误差为：
与使其最小，需分别对各个
求偏微分，即
由此式可以获得
个表达式，再根据极值条件，令此
个表达式等于零，即可得到由
个方程式组成的一个线性方程组，即
（5.3.5a）
简单表示为：
令
和
的协方差
为
(5.3.6)
则式（5.3.5）可以改写为：
(5.3.7)
由此可见 ：当所有的协方差
为已知或可以测出时，应用式（5.3.7）可解出
。因此最佳预测问题变成了对图像协方差
的实际测试。如果图像可以假定为平稳随机过程，且均值为零，那么可以用其相关系数
来代替协方差
。
设原始输入图像信号序列
平均值为零，方差为：
，在最佳预测各个
已知的条件下，其输出误差信号的方差
为：
可见
也就是说，误差信号序列
的相关性比起原始输入信号序列
的相差性要弱得多，假如原始输入图像序列
是一个
阶的马尔柯夫（Markev）序列，在构成XN的最佳线性预测值
时，只需取用以前的
个取样值
即可获得完全不相差的误差信号序列[5.2]
下面简单讨论一下线性预测DPCM中。对
作最佳预测时，如何取用以前的已知像素值
。
（１）若取用现在像素
的同一扫描行中前面最邻近像素值
来预测
，即取
的预测值
，称其为前值预测。
（２）若取用
的同一扫描中前几个已知像素值，如
等来预测
，则称其为一维预测。
（３）若取用
的同一扫描中前几个已知像素值，如
等来预测
，刚称其为二维预测。
（４）若取用已知像素不但是前几行的而且还包括前几帧的，那么相应地称其为三维预测。
一般在图像压缩编码中经常用二维预测。人头像的典型预测系数值为
。当然不同的图像内容有不同的特性，各个预测系数会有较大的差异。
应用均方误差极小准则所获得的各个预测系数
之间应有什么样的约束关系呢？
假设图像中有一个区域亮度值是一个常数，那么预测器的预测值也应是一个和上面相同的常数，即：
将此结果代入式（5.3.4）得到：
因此可以获得：
但1980年，Pirsch进一步研究并修正了这个结论。他认为：为了防止DPCM系统中出现“极限环”（Limit Circle）振荡和减少传输误码的扩展效应，应满足下列两个条件：
（１）预测误差
应该是一个量化输出电平，也就是量化分层的总数
应是奇数。
（２）所有预测系数
除满足：
外，还应满足：
量化器的最佳设计有两类：第一种方法是在量化比特数
（即量化层总数
）已确定情交下，根据量化误差的均方值最小原则设计。第二类方法是在保证量化误差满足应用要求，如视觉不可觉察前提下，尽可能使量化比特数
小。
第一类方法基本原理就是在“图像数字化”一章提到的Max方法。
设
为量化输出电平，
为量化判决电平，若DPCM量化器输入误差信号
满足下更关系时：
（5.3.8）
量化器输出为
，此时量化误差为
。若量化器输入信号
是模拟信号，则量化误差均方值为：
（5.3.9）
式中
为误差信号
的概率密度函数。
为了使量化误差的均方值
最小，Max证明出必须满足下列两个条件：
因此在
为已知，
和
已给定情况下，可以用式（5.3.10）和式(5.3.11)反复迭代求出各个
和
。
在资料中提出了DPCM系统量化信噪比的实用的方便公式(5.3.12)，其中假设量化比特数
，误差信号的概率密弃函数
近似认炒是拉普拉斯（Laplace）分布（对图像信号来讲，这些条件是容易满足的）。
（5.3.12）
对电视信号来讲信噪比往往是指复合信号峰一峰值与噪声均方根值之比，而复合信号均方根值大约是峰一峰值的十分之一，即大约为20dB，因此式（5.3.12）
（5.3.13）
设时最佳量化器的第一类方法的具体步骤如下：
（１）对图像进行统计分析，确定误差信号的方差
和最佳预测器的各个预测系数
（２）概据图像质量要求，确定量化信噪比由式（5.3.12）或式（5.3.13）求出量化比特数
，进而求出量化层总数
。
（３）由式（5.3.10）和式（5.3.11）求出判决电平
和量化输出电平
。
量化器第二类设计方法的依据是第二章中介绍的主观评价准则。图像压缩编码过程中产生的各类量化误差以人眼观察不到或某种允许的程度为满足。因此不同类型和不同用途的图像就有不同的方法。目前的研究多集中以人眼的信宿的电视图像压缩方面。下面介绍用一个二维预测器
和一套电视图像，测得可见度阈值函数。其思想为：某个像素的量化误差，若被同一像素预测误码差绝对值所掩盖而观察不到时，其数值上限等于可见度阈值。当预测误差绝对值增大时，主观视觉觉察不出的量化误差绝对值也随着增大。直观地讲，就是图像中灰度变化快的部份（如图像细节，黑白边沿）允许有较大的量化误差。根据可见度阈值函数曲线，即可获得量化特性曲线即各个
和
。
由于预测器和量化器的设计以及数字信道传输误码的影响，在DPCM系统中会出现一些图像降质现象。经过许多实验，总括起来有下列几种：
（１）斜率过载引起图像中黑白边沿模糊，分辨率降低
这主要是当扫描到图像中黑白边沿时，预测误差信号比量化器最大输出幅面电平还要大得多，从而引起很大的量化噪声。
（２）颗料噪声：
这主要是最小的量化输出电平太大，而图像中灰度缓慢变化区域输出可能在两个最小的输出电平之间随机变化 ，从而使画面出现细斑 ，而人眼对灰度平坦区域的颗粒噪声又很敏感，从而使人主观感觉上图像降质严重。（３）假轮廓图案
这主要是由于量化间隔太大，而图像灰度缓慢变化区域的预测误差信号太小，就会产生像地形图中等高线一样的假轮廓图案。
（４）边沿忙乱
这主要在电视图像DPCM编码中出现。因为不同帧在同一像素位置上量化噪声各不相同，黑白边沿在电视监示上将呈现闪烁跳动犬齿状边沿。
因此最佳量化器的设计要综合平衡这些可能相互矛盾的因素，这将了决于实际应用要求。下面着重就数字信道传输误码对DPCM系统图像质量的影响进行讨论；
（５）误码扩散
任何数字信道中总是存在着误码 。在DPCM系统中 ，即使某一位码差错 ，对图像一维预测来讲 ，将使该像素以后的同一行各个像素都产生差错。而对二维预测，误码引起的差错还将扩大散到以下各行。这样将使图像质量大大下降。其影响的程度取决于误码在信号代码中的位置以及有误码的数码所对应的像素在图像中的位置。
：输入取样信号
：预测值
：解码器恢复的图像亮度值
：量化器输出值
：传输误码引起的信号误差
：在恢复的图像值中由误码产生的误差值
由于误码的存在，将使接收端输入信号
上迭加一个误差值
。因
的存在将使后面的像素预测值
迭加一个误差
，这样逐步扩散下去。
一般来说，一维预测误码呈水平条状图案。而二维预测误码呈“彗星状”向右下方扩大散。二维预测比一维预测搞误码能力强得多 。对电视图像来讲 ，要使图像质量达到人不能觉察的降质 。实验表时 ，对 DPCM 要求传输入误三应优于
，而对于一维前值预测DPCM则应优于
，二维 DPCM 应优于
。
对已设计好的最佳预测器和最佳量化器，其参数确定后就不再改变。那么由此构成的DPCM系统从性质上讲是一个“ 时不变系统 ”。但是图像内容变化引起取样的图像信号随时间变化，这就要DPCM系统应是“时变系统”，才能获得列好的压缩效果和较高的图像质量。达到这个目的的具体措施就是使预测器和量化器参数随图像局部特点自动调节，即自适应预测和自适应量化的概念。
下面介绍一下自适应方案：
预测公式为：
（5.3.14）
式中
是一个自适应参数，按下式定义取值：
（5.3.15）
式中：
是第
个取样值的量化输出电平；
(正值)是最小的量化输出电平；
（正值）是最大的量化输出电平。
由上可见，对图像的绝大部分像素，即
在
和
之间，取
，即按式（5.3.14）获得的式（5.3.14）对第
个像素进行预测。
对图像中黑白边沿部分，由于
大，即
时，将
自动增大为1.125，这样可以减轻
和
等几个边沿像素出现的斜率过载而引起的图像中物体边沿模糊。相反，在
时，
自动下载为0.875，这对减轻图像灰度平坦区的颗粒噪声是有交的。这时机要注意，根据式（5.3.14）和式（5.3.14）定义所取的预测系数
和
已不再是一个常数，而是一个变数。因此这样的预测编码就不是线性预测编码，一般称其为“非线性预测编码”。
非线性预测编码，特别是在二值静止图像编码中应用，国内外开展了一些研究。如按邻近像素作自适应非线性预测编码，对图像中黑白边沿及交织结构区域有较大的改进，但方法实现要复杂些。