第四节 平滑图像平滑主要目的是减少噪声。一般情况下，在空间域内可以用邻域平均来喊少噪声 。在频率域，因为噪声频谱多在高频段 ，因此可以采用各种形式的低通滤波的办法来减少噪声。下面先分析一下图像中的噪声特性。
第二章已介绍过，图像中的噪声种类很多。对图像信号幅度和相位的影响十分复杂，有些噪声和图像信号互相独立不相关，有些是相关的，噪声本身之间也有些相关。因此要减少图像中的噪声，必须针对具体情况采用不同的方法，否则很难获得满意的处理效果。
一般在图像处理技术中常见的噪声有：
（１）加性噪声
加性噪声和图像信号强度是不相关的 ，如图像在传输过程 中引进的“信道噪声”、电视摄象机扫描图像的噪声等。这类带有噪声的图像
可看成为理想无噪声图像
和噪声
之和，即：
（6.4.1）
（２）乘性噪声
乘性噪声和图像信号是相关的，往往随图像信号的变化而变化，如飞点扫描图像中的噪声、电视扫描光栅、胶片颗粒噪声等，这类噪声和图像的关系是：
(6.4.2)
（３）量化噪声
量化噪声在数字图像的主要噪声源，其大小显示出数字图像和原始图像的差异，对这种噪声的减少最好办法就是采用按灰度级概率密度函数选择量化级的最优量化措施。
（４）由图像切割引起的“盐和胡椒”（Saltand-pepper）噪声，即黑图像上的白点，白图像上的黑点。另外，在变换域会引进误差，而使图像反变换后造成的变换噪声等。
图像中的噪声往往和信号交织在一起，尤其是乘性噪声。如果平滑不当，就会使图像本身的细节如边界轮廓，线条等变得模糊不清，从而使图像降质；所以图像平滑过程总是要付出一定的细节模糊代价。如何既能平滑掉图像中的噪声，而又尽量保持图像细节即少付出一些细节模糊代价是图像平滑研究的主要问题之一。为此我们定义一个代价函数来表示图像平滑性能以及细节模糊程度。
设
为噪声图像，
为平滑后的图像，
为加权函数，代价函数
定义为：
（6.4.3）
式中前两项为
的拉普拉斯算子，与图像细节对应。第三项为平滑前后图像中对应点的均方差值，与图像中噪声对应。选择不同的平滑方法，以看成为选择同的加权函数
，为了不使图像细节模糊，应使
对前两项敏感，如给予较大的加权，而对后一项不敏感，即给予较小的加权，从而获得最佳的
，即获得最满意的图像。但这样计算起来是十分困难的，这是属于系统最佳化的问题，理论答案和实际结果相差很大。因此，通常并不这样去做，而是使用一些简单的非最佳平滑方法，也能够在一定程度满足要求。下面介绍的一些办法都属于此类方法。
图像平滑处理方法视其噪声图像本身的特性而定，可以在空间域也可在频率域采用不同的措施。在空间域里一类方法是噪声去除，即先判定某点是否为噪声点，若是，重新赋值，若不是按原值输出。另一类是平均，即不依赖于噪声点的识别和去除，而对整个图像进行平均运算，在领率域里也可以分为噪声去除和平均两类方法，只不过是对图像频谱进行修正而不象在空间域里直接对图像象素灰度级值进行运算。
当图像中的噪声是一些彼此孤立的细点时，如“盐和胡椒”噪声之类，采用噪声去除处理比较合适。其具体步骤是：
（1）确定噪声领域尺寸
实际应用中常称为窗口，一般多选用
，
等。窗口越大效果明显些，但计算机时间就越长。取奇数窗口是因为可以让判定的点位于窗口中心。对整个图像的四周边缘象素判别时，为了仍使其处于窗口中心，往往在四周外内插一行一列，如
图像变为
，其插值可以设为0或其他合适的值。
（2）噪声点的判别
设怀疑为噪声点的灰度级值为
，窗口内点的灰度级值为
。先选定一个
与
的差值门限
，如果
与
的差值有
个超过
，则认定该点噪声点。参数
选择太大，噪声去除不干净，太小容易使图像模糊。可以先做一小块图像，观察其效果再确定。参数
的选择对图像中的直线，边缘等影响很大，因为在这些部位上的非噪声点灰度级值也可能与其他部分邻点不同。所以
不能太小，如
窗口，
应大于3.
（3）内插值的决定
①若判定
点是噪声点，一般是用邻域内各点（包括
点本身）灰度级值平均值代替
点原来灰度级值。若不是噪声点，原值输出。但对二值图像这样插值不合适，为了保持处理后仍为二值图像，往往对一个黑点周围有很多的白点就改黑点为白点，同样将类似的白点改为黑点。
②上面叙述的方法是硬性判决，更一般的方法是对点作出“模糊（fuzzy）判决”。
设
点为噪声点，其概率是
，赋给
点新的灰度级值用下式给出：
(6.4.4)
式中
为
点灰度值，
为邻域
内任一点
的灰度级值，
为邻域内象素数。
由式（6.4.4）可见，当
很大，即
点很象噪声，给
点新灰度级值就很接近于邻域平均值，若
，肯定为噪声点，就是上面讲的情况，即
点新灰度级值就是邻域平均值
。若
小，则反之。
简化算法是：
（1）设
为噪声图像，
为选定的窗口，
为加权象素数，
为窗口加权值或阵列。
为窗口内平均值，则噪声去除后的图像
应为：
（6.4.5）
（2）如果
，就用
取代
，否则不变。
例6-4 如
中的某一窗口为
，即：
设加权数组
（常数模板）为：
因此窗口内平均值
为111，若选
，窗口中心点灰度级值
，故判定为噪声点，则图像
在这一小块
被平滑为
，即
用邻域平均值
代替原来值，其模板可按需要选用，如：
对于一些图像中存在有周期性直线噪声，如图6-4-1（a），是可以在空间域进行噪声去除的实例。通常是采用邻域平均方法处理，即用线条附近图像点平均灰度级代替线上点的灰度级值，即可消除直线噪声。
如噪声是加性的，即图像
，可对其进行付立叶变换，则得：
图 6-4-1 周期直线噪声去除示意图
图中直线噪声
的付立叶变换
能量集中在与直线垂直方向上一个小区域上，见图6-4-1（b），我们设法消除（如置0或用内插值代替），然后再取其反变换即可得到噪声被平滑过的图像，见图6-4-1（c）。
如噪声是乘性的，应用同样方法，只是在变换前后分别要增加对数和指数运算。
上面讲的噪声去除方法，先要判别噪声点，然后再去除，从而达到改善图像质量的目的。下面介绍的图像平均，是对图像进行某种平均运算，即：
（6.4.6）
由上式可见，平均是以图像模糊为代价来换取噪声的减小。而且
面积越大，噪声减少越显著。可以证明平滑后的噪声标准差降为原来的
（
为
所包含的点数），简证如下：
设图像中噪声具有0平均值，标准偏差为
，噪声之间互相独立，即
证：以两点为例，设
为平均后的噪声方差。
则：
根据
不相关的假设，因此
推广到
点有，
。 [证毕]
假如我们有多帧有噪声的同一幅图像
，如雪花干扰的静止电视图像，并且这些干扰是互相独立。进行帧间平均：
（6.4.7）
图像平滑往往使图像中的边界、轮廓变模糊。为了避免或减轻这类不利效果产生，常常将这些边界轮廓先提取出来，待平滑后再加入图像，或采用部分平均：
（6.4.8）式中
为选定的一个非负阈值。此式表明，若某点值与邻域平均值相差超过
，用平均值代替，进行平均处理，否则仍保留原值，不进行平均运算。
频率域平均一低通滤波
由于噪声频谱能量多集中在高频段，因此采用衷减高频的低通滤波器可以平滑噪声，但图像细节的谱能也趋向高频段，所以低通滤波同样也给图像细节带来模糊，必须注意选择合适的滤波特性。
低通滤波平滑图像的系统框图如图6-4-2所示。
图 6-4-2 频域平均去噪声原理框图
图及式中
为
的付立叶变换，也称转移函数（传递函数）。常用的转移函数
有以下几种：
（１）理想低通滤波器（ILPF）
（6.4.9）
式中
为选定的非负值，
为频率平面上的点
到原点的距离。
(6.4.10)
图 6-4-3 ILPF特性曲线
（2）巴特沃思（Butterworth）滤波器（BLPF）
（6.4.11）
或
(6.4.12)
图 6-4-4 BLPF特性曲线
当
，
时，对式（6.4.11）的
，而对式（6.4.12）的
。两式具有不同的高频衰减特性，视需要而定。
（3）指数滤波器（ELPF）
（6.4.13）
或
（6.4.14）
当
，
时，对式（6.4.13）的
，对式（6.4.14）的
。亦可选择应用。
（4）梯形滤波器（TLPE）
（6.4.15）这几种滤波器中，理想低通滤波器工程上无法实现，而且存在严重的振铃现象。但噪声平滑效果最好，不过图像细节也变模糊。
图 6-4-5 ELPF特性曲线
图 6-4-6 TLPF特性曲线其他几种滤波器的性能可列表6-4-1比较如下：
表 6-4-1
中值滤波是一种非线性信号处理方法，与其对应的中值滤波器当然也就是一种非线性滤波器。中值滤波器是在1971年由J·w·Jukey首先提出并应用在一维信号处理技术（时间序列分析）中。后来被二维图像信号处理技术所引用。它在一定的条件下，可以克服线性滤波器如最小均方滤波，平均值滤波（平滑滤波）等所带来的图像细节模糊。而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声最为有效。在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，这也带来不少方便。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波方法。
由于中值滤波是一种非线性运算，对随机输入信号的严格数学分析比较复杂。我们下面主要采用直观方法对确定信号进行中值滤波原理介绍。
（一）中值滤波原理
中值滤波就是用一个含有奇数点的滑动窗口，将窗口正中的那点值用窗口内各点的中值代替。假设窗口内有五点，其值为80，90，200，110，120。那么此窗口内各点中值即为110。
设有一个一维序列
。取窗口长度为
（
为奇数），对此一维序列进行中值滤波，就是从输入序列中相继抽出
个数
；其中
为窗口中心点值，
。再将这
个点值按其数值大小排序，取其序号为正中间那个数作为滤波输出。用数学公式表示为：
（6.4.16）
例如，有一个序列为
。重新排序后为
，则
。此例若用平滑滤波，窗口也是取5，那么平滑滤波输出为：
图 6-4-7是用内含五个象素的窗口对离散阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数以及三角形函数进行中值滤波和平均值滤波的示例，仅就此例可以看出，中值滤波器不影响阶跃函数和斜坡函数；周期小于
（窗口之半）的脉冲将受到抑制，另外三角函数的顶部变平。
二维中值滤波可由式（6.4.17）表示
（6.4.17）
其中：
为窗口；
为二维数据序列。
二维中值滤波的窗口形状的尺寸设计对滤波效果影响较大。不同的图像内容和不同的应用要求，往往采用不同的窗口形状和尺寸。常用的二维中值滤波窗口形状有线状、方形、圆形、十字形以及圆环形等。窗口尺寸一般先用3再取5逐点增大，直到其滤波效果满意为至。就一般经验来讲，对于有缓变的较长轮廓线物体的图像，采用方形或圆形窗口为宜。对于包含有尖顶角物体的图像，适宜用十字形窗口。而窗口大小则以不超过图像中最小有效物体的尺寸为宜。使用二维中值滤波最值得注意是要保持图像中有效的细线状物体。如果图像中点、线、尖角细节较多，则不宜采用中值滤波。
图 6-4-7 中值滤波和平均值滤波比较示例
（二）中值滤波主要特性
1.对某些输入信号中值滤波的不变性
对某些特定的输入信号，如在窗口
内单调增加或单调减少的序列，中值滤波输出信号仍保持输入信号不变，即
或
则
(6.4.18)
中值滤波这种不变性可以从图6-4-7中（a）和(b)上直观地看出来。二维中值滤波的不变性要复杂些，它不但与输入信号有关，而且还与窗口形状有关。图6-4-8列出几种二维窗口及与之对应的最小尺寸的不变输入图形。一般地讲，与窗口对顶角连线垂直的边缘线保持变性。利用这个特点，可以使中值滤波既能去除图像中的噪声，又能保持图像中一些物体的边缘。
图 6-4-8 中值滤波几种常用窗口及其相应的不变图形
对于一些周期性的数据序列，中值滤波也存在着不变性。例如下列一维周期性二值序列
若设窗口长度为9，则中值滤波对比序列保持不变性。对于维周期序列不变性，如周期网状结构图案，分析起来就更复杂了，可以通过实验改变窗口形状和尺寸来获取。
2.中值滤波去噪声性能
中值滤波是非线性运算，因此对于随机性质的噪声输入数学分析是相当复杂的 。对于零均值正态分布的噪声输入 ，中值滤波输出的噪声方差
近似为：
（6.4.19）
式中：
为输入噪声功率（方差）；
为中值滤波窗口长度；
为输入噪声均值；
为输入噪声密度函数。
而平均值滤波的输出噪声方差
为
（6.4.20）
比较公式（6.4.19）和（6.4.20），可以看出，中值滤波输出与输入噪声的密度分布有关。而平均值滤波的输出与输入分布无关。对随机噪声抑制能力方面来看，中值滤波性能要比平均值滤波差些。但对脉冲干扰来讲，特别是脉冲宽度小于
，相距较远的窄脉冲干扰，中值滤波是很有效的。
3.中值滤波的频谱特性
由于中值滤波是非线性运算，输入和输出之间在频率上不存在一一对应关系。故不能用一般线性滤波器频率特性的研究方法。为了能够直观地定性地看出中值滤波输入和输出频谱变化情况，我们采用总体试验观察方法。
设
为输入信号频谱，
为输出信号频谱，定义
（6.4.21）
为中值滤波器的频率响应特性，实验表明，
是与
有关的，呈不规则波动不大的曲线，见图6-4-9。
图 6-4-9 H与G关系曲线
因此，虽然不去严格的分析中值滤波的频谱特性，但从图6-4-9可以看出，中值滤波频谱特性
起伏不大，其均值比较平坦，可以认为信号经中值滤波后，频谱基本不变，这点认识对从事设计和使用中植滤波器的工作是很有意义的。
（三）复合型中值滤波
对于一些内容复杂的图像，可以多次使用不同的中值滤波，进行复合处理。如中值滤波线性组合，高阶中值滤波组合，加权中值滤波以及迭代中值滤波等。在特定条件下，也还是有效的。下面扼要介绍一下。
1.中值滤波的线性组合
将几种窗口尺寸大小和形状不同的中值滤波器复合使用，只要各窗口都与中心对称，滤波输出可以保持几个方向上的边缘跳变，而且跳变幅度可调节。其线性组合方程式如下：
（6.4.22）
式中
为不同中值滤波的系数，
为窗口。
2.高阶中值滤波组合
例如可以用公式（6.4.23）形式组合
（6.4.23）
式中，
窗口可以选择图6-4-10所示的几种形状，这四种不同方向的线状窗口在式（6.4.23）中使用，可以使几个不同方向上的线状细节保持不变，而又有一定的噪声平滑作用。
图 6-4-10 几种线状窗口
3.其它类型中值滤波
为了对某些图像，在一定的条件下，尽可能干净的去除噪声，而又尽可能保持有效的图像细节，可以对中值滤波器参数进行某种修正。如加权中值滤波，也就是对窗口中的数进行某种加权。也可以是对中值滤波器的使用方法进行变化。如迭代中值滤波，就是对输入序列重复进行同样的中值滤波，一直到输出不再有变化为止。中值滤波器还可以和其它滤波器联合使用。总之，因为图像信息是多种多样，应用要求也各不相同，因此，在处理具体问题时，如何合理有效地使用中值滤波器，经验往往是相当重要的。
