第五节 锐化（sharpening）图像锐化处理的目的是使模糊图像变得清晰些。但针对引起图像模糊的原因而去模糊方法是图像复原所讨论的问题，将在下一章图像复原中介绍，这里仅介绍一般的去模糊方法。
图像的模糊实质就是图像受到平均或积分运算，因此对其进行逆运算如微分运算，就可以使图像清晰。从频谱角度来分析，图像模糊实质是其高频分量被衰减。因而可以用高频加重滤波来使图像清晰。但要注意的是能够进行锐化处理的图像必须要求有较高的信噪比，否则图像锐化后，图像信噪比更低。因为锐化将使噪声受到比信号还强的增强，故必须小心处理。一般是先去除或减轻干扰噪声后，才能进行锐化处理。
任何偏导数运算都是一种线性运算，其算子
的任何线性组合也一定是线性运算。假设图像
所有导数都存在并且连续，在对图像
求导数时只依赖于点
附近的一个任意小的邻域内
的值，因此可以将这种运算认为是移位不变运算。
为了要把图像中间任何方向伸展的边缘和轮廓线的模糊变清晰，我们还希望对图像的某种导数运算是各向同性。可以证明偏导数平方和的运算是各向同性的，即
式中
是图像旋转前的座标，
是图像旋转后的坐标。梯度运算和拉普拉斯运算都是符合上述条件的，也是常用的图像锐化运算方法。
（一）梯度运算
设图像为
，定义
在点
的梯度矢量为
(6.5.1）
梯度的两个重要性质是：
（1）梯度的方向在函数
最大变化率方向上。
（2）梯度的幅度用
表示，并由下式给出
（6.5.2）
由此式可见，梯度的数值就是
在其最大变化率方向上的单位距离所增加的量。
对于数字图像，式（6.5.2）改为：
（6.5.3）
为了计算机计算方便用下式来近似式（6.5.3）：
（6.5.4）
对于数字图像，式（6.5.2）也可以改为如下形式，称为罗伯特（Roberts）梯度。
(6.5.5)
同样用下式近似为：
（6.5.6）
这些梯度定义在数学上也许没有什么道理，但运算简单、实用，效果好；也就被承认下来了。因此数字梯度定义按实际情况来决定，只要效果好就可用。如为了使其旋转不变可用下面方法定义，对某点
的
域，用下式定义梯度
式中：
直接应用梯度值
来表示图像，即令
，由式（6.5.4）和式（6.5.6）可见，梯度值正比于邻近象素灰度级值的差分因此在图像 变化缓慢区域，其值很小，而在线条轮廓等变化快的部分其值很大，这就是图像经过梯度运算后可使其细节清晰从而达到锐化目的的实质。
由于梯度值在缓慢区值小，而使图像较暗，常常使用一种改进的梯度运算，即当梯度值超过某一个阈值
后，该点灰度级就用其梯度值表示，否则仍保持原值。
（6.5.7）
或
：给边缘规定的一个灰度级值。也可以使图像有固定背景灰度级
,突出边缘灰度变化，可用下式：
甚至只留两个灰度级，主要供研究边缘位置
（二）拉普拉斯运算
对图像进行拉普拉斯运算也是偏导数运算的线性组合，且为旋转不变性即各向同性的线性运算，设
为拉普拉斯算子，则
(6.5.8)
如何将拉普拉斯算子与图像锐化联系起来，也就是用对图像进行拉普拉斯运算来达到图像清晰的目的，这要由引起图像模糊模型而定，如对由于扩散现象引起的图像模糊，可以用下面公式来锐化图像。
(6.5.9)
式中
分别为锐化前后的图像，
为与扩散效应有关的系数。扩散交应是图像成象过程经常发生的现象，如胶片颗粒化学扩散，光点散射，按扩散议程（6.5.10）使图像模糊。
（6.5.10）
将式（6.5.10）在
附近用台劳级数展开，令：
（1）
即在
时图像不模糊。
（2）
即在
时图像模糊了。
（3）
为扩展时间
则：
（6.5.11）
略去（6.5.11）式中高次项用
代替
可得到：
上式表明，不模糊图像可以由模糊图像减去模糊图像拉普拉斯算子乘一个常系数
而得到。但对
要合理的挑选。
太大会使图像中轮廓边缘产生过冲。
太小，锐化不明显。
对数字图像来讲，图像
的一阶偏导为：
那么，
的二阶偏导可表示为：
则由式（6.5.8）可得：
（6.5.12）可见，数字图像在某点
的拉普拉斯算子，除常数因子外，可由
点灰度级值减去该点邻域平均灰度级值而求得。
现举一个例子用公式（6.5.9）来锐化图像。
例6-5 设有数字图像
，其各点灰度级值如下：
…，0，0，0，1，2，3，4，5，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，3，3，3，3，…
①按式（6.5.12）计算各点拉普拉斯算子
第3点：
第4点：
第5点：
第8点：
各点拉普拉斯算子如下：
…，0，0，1，0，0，0，0，-1，0，0，0，0，1，-1，0，0，0，0，-3，3，0，0，0，…
②按式（6.5.8）计算出锐化后图像各点灰度级值为：（令
）
第3点：
第4点：
第5点：
第8点：
锐化后各点灰度级值如下：
…，0，0，-1，1，2，3，4，6，5，5，5，5，4，7，6，6，6，6，9，0，3，3，3，…
从这个例子可以看出：
①灰度级斜坡底部（如第3点）和界线低灰度级侧（如第13，20点）形成下冲。
②灰度级斜坡顶部（如第8点）和界线的高灰度级侧（如第14，19点）形成上冲。
③灰度级平坦区域（如第9-12，15-18点）运算前后没有变化。
由此可以看出，对扩散模糊图像，按公式（6.5.8）进行拉普拉斯运算处理可以使图像轮廓边界增强，起锐化图像的作用。必须指出，只有图像模糊过程符合扩散议程的模糊图像，使用上述拉氏算法才能获得良好的锐化效果，否则，不一定有较好的效果。
为了即使图像轮廓清晰，又不使噪声增加，对上述方法改进如下：
①设一阈值
②
（6.5.13）
针对不同图像也可以非线性组合原始和模糊图像，并不一定用（6.5.9）式。数字拉氏算子也可以用加权平均来定义。例如，假设原始图像
是由于它的每一点灰度级加进了四个邻域象素灰度级之和的小部分
而变模糊的，产生了模糊图像
为
(6.5.14)
式中
(6.5.15)
从模糊图像
中减去它的拉普拉斯算子的
倍，得到：
代入式（6.5.14）、式（6.5.15）得：
若
使得
的系数
即
再设
充分小，可以忽略
，因为最后一项是
，也就可以忽略了，由此可得：
(6.5.16)
可从模糊图像
中减去拉普拉斯的适当倍数即可得到原始图像。
图像的高通滤波器与低通滤波作用相反，可以增强图像细节。其工作原理及注意的地方和低通滤波器相似，不再详介。