第二节　图像降质和降质模型

　　一、图像的降质因素及其与复原有关的噪声

　　产生图像降质的因素很多，如光学系统的象差、成象过程的相对运动、X射线的散布特性、各种外界因素的干扰以及噪声等等。本章讨论的只是点降质和空间降质二种。所谓点降质是降质因素只影响图像中象素的灰度级变化，而空间降质是降质因素引起空间模糊，这二种降质一般可用数学上的降质模型来描述。而对于其它的降质因素，如图像彩色的变化、随时间产生的变化等，不在本章讨论的范围。

　　另外，我们讨论的是数字图像象素点上的复原问题，而不考虑传感器、数模和模数变换器和显示器造成的图像退化之复原问题。也就是说，只讨论图像处理器本身输出的数字图像相对于输入的数字图像的复原问题。

　　产生图像降质的一个复杂因素是随机噪声问题，在形成数字图像过程中，噪声会不可避免地加进来。我们在考虑有噪声情况下的图像复原问题，就必须知道噪声的统计特性以及噪声和图像信号的相关情况，这是非常复杂的。在实际应用中，往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数并且与图像不相关。这种假设是理想情况，因为白噪声的概念是一个数学上的抽象。但只要噪声带宽比图像带宽大的多的情况下，此假设还是一个比较可行的和方便的模型。关于噪声与信号相关情况在2-4节已作了分析，这里就不重复了。

　　同时，还应值得注意的是不同的复原技术需要不同的有关噪声的先验信息，如下面将要讨论的维纳滤波器需要知道噪声的谱密度，而约束去卷积法只需要知道噪声的协方差。

　　二、图像降质过程的模型

　　如果将图像的降质过程模型化为一个降质系统（或算子） ，并假设输入原始图像为 ，经降质系统作用后输出的降质图像为 ，在固执过程中引进的随机噪声为相加性噪声 ，如果不是加法性噪声，而是乘法性噪声，可以用对数转换方式转化为相加的形式。那么，降质过程的模型如图7-2-1所示。用公式表示为：

　　 (7.2.1)

　　在以后的讨论中，我们对降质系统 作以下的假设：

图 7-2-1　图像降质过程模型

　　1. 是线性的，即在 时，满足下式：

　　 (7.2.2)

　　式中 和 为常数。

　　2. 是空间（或移位）不变的。如果系统的输入输出关系满足 ，则对于任一个 ，和任一个常数 和 都有下列关系：

　　 (7.2.3)

　　这就是说，图像上任一点的运算结果，只取决于该点的输入值，而与坐标位置无关。

　　三、连续函数的降质模型

　　根据对冲激函数的定义，我们可把 表示为下式

　　 (7.2.4)

　　式中 为定义不在原点的二维 函数。即

　　

　　 (7.2.5)

　　在降质模型（7.2.1）式中，如 ，则有

　　 (7.2.6)

　　如果 为一线性算子，并设相加性对积分是有效的，则

　　 (7.2.7)

　　由于 与 和 无关，由线性齐次性可得

　　 (7.2.8)

　　令 (7.2.9)

　　 称为 的冲激响应，它表示系统 对坐标为 处的冲激函数的响应。在光学中，冲激为一个光点， 一般也被称为点扩展函数（Point Spread Function——简称PSF）。

　　将式(7.2.9)代入式(7.2.8)得

　　 (7.2.10)

　　此式在线性系统理论中是非常重要的，它指出如果系统 对冲激函数的响应已知，那么，对于任一输入 的响应，都可以用式(7.2.10)计算出来。

　　如果 是空间不变的，由式(7.2.3)得

　　 (7.2.11)

　　将此式代入(7.2.10)式得

　　 (7.2.12)

　　从上式可见，如果把降质过程看为一个线性空间不变系统，那系统输出的降质图像 应为输入原始图像和系统冲激响应 的卷积。

　　如对式(7.2.12)二边进行付立叶变换，并用卷积定理可得

　　 (7.2.13)

　　式中 、 分别是 、 的二维付立叶变换。函数 称为降质系统的传递函数，它是降质系统的冲激响应 (即PSF)的付立叶变换。

　　在考虑加法性噪声的情况下，连续函数的降质模型可表示为

　　 (7.2.14)

　　对于大多数的实际应用来说，降质模型可近似看为是线性的和空间不变的，这样就可应用线性系统理论来解决图像复原问题。当然讨论非线性、空间可变性的降质模型更具有普遍性，但由于问题的解算过于困难而无法解决。所以，本章只讨论线性的、空间不变的退化模型。尽管这样，从下面介绍中可看出它仍然需要解决一个庞大的联立方程组，这是一个复杂的矩阵运算问题，即使采用循环矩阵的对角线化处理，解算也是十分繁琐的。

　　四、几个典型的降质系统的传递函数

　　从上可看出，建立图像降质模型的关键是寻找系统 ，在空间域中表示为冲激响应 ，对应于频域，即求 的付立叶变换 （传递函数），因此，在进行图像复原之前，一般应设法求得完全的或近似的降质系统的传递函数 。下面介绍几个较典型的降质系统的传递函数。很显然，要想得到冲激响应 ，只需要传递函数 的付立叶反变换即可求得。

　　（一）受到衍射限制的空间非相干光学成象系统中，由于衍射造成图像降质的

　　设出射光瞳用下列函数表示：

　　

　　那么，降质系统的传递函数为

　　 (7.2.15)

　　其中 是所用光的波长， 是出射光瞳到影象平面的距离。

　　（二）照相机对景物之间的相对运动造成图像降质的

　　假设照相机在软片上曝光产生的影象除受相对运动影响外，不考虑其它因素的时间变化。根据在快门开启的时间区间上对瞬时曝光进行积分可得任一点的总曝光量。设 和 分别是位移的 分量和 分量， 为曝光持续时间，那么，可得曝光成象后的降质图像为

　　 (7.2.16)

　　对式(7.2.16)二边进行付立叶变换得

　　

　　利用变换 ，可将上述方程表示为

　　 (7.2.17)

　　从式(7.2.17)得到降质系统的传递函数为

　　 (7.2.18)

　　如果只有沿 方向的匀速运动，其速度为 ，那么 ，代入式(7.2.18)可得

　　 (7.2.19)

　　（三）大气湍流造成图像降质的

　　在航空图片、卫星图片、天文图片中，由于受大气湍流的影响，给图像产生模糊。不少文献都在研究这个十分重要的问题。其中指出并推导了长时间曝光时，大气湍流降质图像的降质系统的传递函数为

　　 (7.2.20)

　　式中 是与湍流性质有关的常数。

　　对于短时间曝光时大气湍流的影响，其考虑的问题更为复杂。此时降质系统传递函数变成随机性质，推导较困难，目前正在研讨之中。

　　五、降质模型的离散形式

　　为了便于计算机处理， 必须将连续降至模型离散化. 本节先讨论一维情况然后推广到二维.

　　（一）一维离散降质模型

　　在暂时不考虑噪音声项的情况下， 设 为具有 个采样值的离散输入函数， 为具有 个采样值的降质系统冲激响应， 则系统的离散输出函数 为输入 和冲激响应 的卷积. 即

　　 (7.2.21)

　　根据3-3-3节的离散卷积公式的分析， 此卷积的结果会产生交叠误差. 为了避免交叠误差， 应将 和 用添零引伸的方法扩展成周期为 的周期函数 和 。即有

　　

　　

　　此时输入 为

　　 (7.2.22)

　　式中 .因为假设 和 多时周期性函数，故 也是周期性函数.

　　上式还可以边式为矩阵的形式

　　 (7.2.23)

　　式中 和 均是 维列向量，表示为

　　

　　 为 阶矩阵

　　 (7.2.24)

　　因为 是周期性函数，故有 ，利用此性质，式(7.2.24) 可写为

　　 (7.2.25)

　　从上式可看出一个有趣的性质，矩阵的每一行都是前一行向右循环移位的结果。这就是说：在一行中最右端的元素等于下一行中最左端的元素，并且此循环性一直延伸到最末一行之末，又回到第一行只首，因此， 的循环是完善的，在方阵中，如具有这种向右循环移位的性质，称为循环矩阵.特别应注意到的是 的循环性质是 假设 为周期性之后才得到的.

　　例7-设 ， ，此时

　　

　　

　　在此情况下， 和 都为6维列向量， 为 矩阵， 其循环矩阵 表示为

　　

　　（二）二维离散降质模型

　　现将上述推广到二维.设输入的数字图 和冲激响应 分别具有 和 元素.为避免交叠误差，用添零延伸的方法，将他们扩张名为 个元素，其中 ， .则

　　 (7.2.26)

　　

　　如将扩展函数 和 作为二维周期函数处理即在 和 方向上，周期分别为 和 ，则输出的降质数字图像为

　　 (7.2.27)

　　式中 .

　　 具有与 和 相同的周期，如考虑噪声项，只要在式(7.2.27)的基础上，加上一个 的扩展的离散噪声项 ，就可得完整得二维离散降质模型

　　 (7.2.28)

　　式中 .

　　同一维情况相似，可用矩阵表达式表示二维离散降质模型.它表示为:

　　 (7.2.29)

　　式中 为 维列向量，这些列向量是由 维得函数矩阵 ， 、 和 的各个行堆积而成.如

　　 (7.2.30)

　　 和 的形式与 相似，这里就不重复写出了. 维 维矩阵，此矩阵是一个 十分庞大的矩阵，它包括 个部分，每一部分的大小为 。它可用 的分块循环矩阵来表示

　　 (7.2.31)

　　其中每个分块 是由扩展函数 的第 行组成，即

　　 (7.2.32)

　　上式和式(7.2.25)一样 ，同样利用了 的周期性。显然 也是一个循环矩阵，而且 中的各分块的小标变化也是右移循环的。因此，式(7.2.31)给出的 被称为分块循环矩阵。

　　在以下各节主要讨论(7.2.29)给出的离散降质矩阵。重要的式应记住这一表达式是在系统假设为线性和空间不变性的条件下推导出来的，因此，在此条件下，图像复原的问题在于：给定降质图像 ，并已知降质系统的冲激响应 和相加性噪声 ，如何估计出理想图像 。根据式(7.2.29)意味着，当给定 并对 和 有了某些先验了解之后，如何估计出 来。

　　表面上看，式(7.2.29)似乎很简单.但要从该式直接求出 的各个元素，对于实际图像来说，其运算量相当大的。例如：若 ， 的大小为 ，因此，为直接求得 需要262144个联立线性方程式组，这是相当繁琐的.但是，只要利用 的循环性质，将 进行对角线化处理，就会大大简化计算机工作量，着在下节进行讨论。

　　六、循环矩阵和分块循环矩阵的对角线化

　　在矩阵运算中，对角线矩阵的运算式比较简单的，本节将对讨论如何将循环矩阵 利用矩阵相似性定理进行对角线化，由于所选择的特征矢量 是具有正交性质的复指数形式，因而可设法转换为离散付立叶变换形式表示 ，这样包含在式(7.2.29)的退化模型的庞大方程组运算可简化为少量的离散付立叶变换运算，通过FFT算法就 能较方便的实现。

　　本节先讨论一维的循环矩阵，然后推广到二维分块循环中去。

　　（一）循环矩阵的对角线

　　已知 循环矩阵 的形式如下

　　 (7.2.33)

　　我们定义复指数形式的标量函数 和向量 如下:

　　 (7.2.34)

　　式中 ，并且

　　 （7.2.35）

　　式中 。

　　由矩阵乘法可得到如下等式

　　 (7.2.36)

　　由附录（一）矩阵理论可知，上式的 是循环矩阵 的特征根，而 为该矩阵 对应于此特征根的特征向量。

　　另外，由矩阵近似定理可知， 要是对角形矩阵相似的充要条件是： 要有 个线性无关的特征向量。即要证明 的 个特征向量 是线性无关的。

　　假设由 的 个特征向量作为列，组成 矩阵 ，则

　　 （7.2.37）

　　 中的第 个元素用 表示，则为

　　 (7.2.38)

　　式中 。由于复指数的正交性质，则可写出逆矩阵 ，其第 个元素 可表示为

　　 （7.2.39）

　　利用式（7.2.38）和（7.2.39）可证明

　　 (7.2.40)

　　式中 为 单位矩阵。

　　因此， 为 的逆矩阵。众所周知，矩阵 存在可逆矩阵的充要条件是 为满秩的。如 是满秩的，则 个列向量 是线性无关的。由矩阵理论可知，一个 阶矩阵 若有 个线性无关的向量 ，则 和对角矩阵 相似。即

　　 (7.2.41)

　　式中 为一对角矩阵

　　 （7.2.42）

　　式中 为循环矩阵 的特征根。式（7.2.41）表明 是按指定的顺序被 和 对角线化了的。

　　利用式（7.2.40）得

　　 (7.2.43)

　　（二）分块循环矩阵的对角线化

　　上述结论可以推广到二维函数的分块循环矩阵中。与一维函数的循环矩阵对角线化的思路一样，可使二维函数的分块循环矩阵对角线化。

　　首先，以 的特征向量组成一个 大小的矩阵 ，它包含大小为 的 个分块。设 的第 个分块定义为

　　 （7.2.44）

　　式中

　　 (7.2.45)

　　 为 矩阵，其中任一元素为

　　 (7.2.46)

　　其中 。

　　同样，其逆矩阵 的大小也是 ，它具有大小为 的 个分块。 的第 个分块可定义为

　　 （7.2.47）

　　式中

　　 （7.2.48）

　　 为 矩阵，其中任一元素为

　　 （7.2.49）

　　式中 。

　　将式（7.2.44）到（7.2.49）直接代入 和 可以验证下式成立

　　 (7.2.50)

　　式中 为 单位矩阵。

　　因此，可得 是可逆矩阵，一定是满秩的，其各个列向量必定是线性无关的，即矩阵 的 个特征向量是线性无关的。所以，分块循环矩阵 可写成

　　 (7.2.51)

　　或 （7.2.52）

　　式中 为对角矩阵，它的 个元素 为 的特征根。从下面讨论还可看出 还和扩展函数 的离散付立叶变换有关。

　　同样还可证明 的转置矩阵 为

　　 (7.2.53)

　　式中 为 的复数共轭矩阵。

　　（三）对角线化在降质模型的应用

　　1.一维情况

　　由式（7.2.21）表示的一维降质模型为

　　 (7.2.54)

　　式中 为循环矩阵。利用式（7.2.43）进行对角线化后，将上式变为

　　 (7.2.55)

　　用 左乘上式两边得

　　 (7.2.56)

　　等式左边的乘积中， 是一个 矩阵， 是一个 维列向量，其乘积亦是一个M维的列向量。其第 个元素以 表示为

　　 （7.2.57）

　　式中 。此式即为扩展序列 的付立叶变换。换句话说，用 乘 产生一个新的向量，该向量的元素是 中的各元素的付立叶变换。这样，使求 列向量中的各元素问题，变成了求 各元素的付立叶变换。

　　同样， 产生了一个新的向量，用 表示，其中 。 的元素是 中各元素的付立叶变换。

　　其次，再讨论对角矩阵 ，由式（7.2.42）可知， 的对角线元素为循环矩阵 的特征值 组成，即由式（7.2.34）得

　　 （7.2.58）

　　式中 。 为 的离散付立叶变换。值得提出的是式（7.2.58）是利用了关系式

　　 （7.2.59）

　　而得到的，读者可自行推导。

　　综上分析，可将式（7.2.56）简化为一维付立叶变换序列的对应项之积，即

　　 (7.2.60)

　　式中 。 为列向量 的各元素， 为列向量 的各元素。从计算的观点来看， 和 为相对应的函数 和 的 个取样的离散付立叶变换。因此，要求降质图像 ，首先用FFT算法求出 和 的 个取样的离散付立变换 和 ，代入式（7.2.60）可求得 ，再用付立叶反变换就可求出 。这样，就将求解 个方程组的问题简化为计算几个序列的付立叶变换问题。

　　2.二维情况

　　上述讨论过程可推广到二维降质模型。由式（7.2.29）表示的二维离散退化模型为

　　

　　用 左乘上式两边，并代入式（7.2.51）和（7.2.50）可得

　　 (7.2.61)

　　式中 是一个 矩阵，它的诸元素由式（7.2.47）给出。 为 对角矩阵。 为 的分块循环矩阵，其形式如式（7.2.31）所示。 和 为 维列向量，这些向量是由扩展图像 和 的各行堆积而成，即

　　 　　 （7.2.62）

　　同样 也是 维噪声列向量。

　　式（7.2.61）左边 是一个 维的列向量，其中各元素表示为 ； 。即可用 表示，其中 ； 。已证明（Hunt，1973，参考文献[7.11]）

　　 （7.2.63）

　　式中 ； 。此式即为 的二维离散付立叶变换。换句话说： 列向量的各个元素，相当于用 的元素的付立叶变换矩阵的各行堆积而成的。

　　同样，列向量 和 则为 维列向量，并包含 和 的诸元素，其中

　　 (7.2.64)

　　 (7.2.65)

　　式中 ； 。

　　最后，类似地可得对角矩阵 为

　　

　　其中 的诸元素与扩展的冲激响应 的付立叶变换有关，即

　　 （7.2.66）

　　式中 ； 。

　　由 的 个元素组成的对角矩阵如下

　　 （7.2.67）

　　利用上述关系，不难证明（7.2.61）式的每一个元素之间的关系为

　　 (7.2.68)

　　式中 ； 。

　　因为 项为一简单的比例因子，为标注方便，可将它并到 中。那么，式（7.2.68）可写成

　　 (7.2.69)

　　式（7.2.68）和（7.2.69）的意义在于：包含在式（7.2.29）中给定降质模型的庞大的方程组可简化为计算大小为 的离散付立叶变换，如用FFT算法，可方便地实现。这对以下讨论的图像复原问题，有十分重要实用意义。