第三节 线性滤波图像复原方法最常见的图像复原任务是去除图像畸变、补偿图像模糊和减弱噪声效应，以使空间图像复原。一般说，如图像降质系统为线性位移不变系统，且噪声是加法性类型时，可在一个统一的线性代数范畴内，将其用公式表示成为一种类型的图像复原问题，这就是复原的代数方法。
根据式（7.2.29）所表示的离散图像模型，图像复原的代数方法的核心是这样的一个思路，即由给定的降质图像
和对退化模型
及噪声
的先验了解，寻找一个对原始图像
的最优估计
，而使事先确定的最优准则为最小。如果最优准则采用常用的最小二乘方准则函数，可推导出下面介绍的反向滤波（或称为逆滤波）、维纳滤波等图像复原方法。同时，也可看出这些方法本质上都是采用线性滤波的方法进行图像复原，故也称为线性滤波复原方法。
（一）基本原理
反向滤波图像复原是最简单复原代数方法，它是采用了无约束条件的最小二乘方复原。由式（7.2.29）可得降质模型噪声项为
(7.3.1)
如果我们对
一无所知，可以根据这样的最优准则，即寻找出
应使
和
之偏差，符合最小二乘方准则，即
的范数的平方尽可能最小，这就要求假设噪声项
的范数也尽可能的最小。换言之，我们希望找到一个
，使
（7.3.2）
为最小。式中，根据定义
，
分别为
的
的范数的平方。
我们将式（7.3.2）看为准则函数，即
（7.3.3）
这样，上述问题等效于寻找一个
，使准则函数
为最小，在这里除了要求式（7.3.3）为最小外，
不受到任何约束，因此，称为无约束复原。
为使式（7.3.3）为最小，可将
对
求偏导数，并使结果为零。即
（7.3.4）
解得 为
（7.3.5）
令
，
为一方阵，并假设逆矩阵
存在，则式（7.3.5）化为
（7.3.6）
上式表明在最小二乘方准则下寻找出的最优估计图像
可由降质图像
和降质系统冲激响应的逆矩阵
求得。从式（7.3.6）可进一步推出反向滤波的复原方法。
由式（7.3.6）和（7.2.51）可得到
（7.3.7）
先用
左乘上式二端，得
（7.3.8）
再用
左乘上式二端，得
（7.3.9）
由7-2-6节讨论可知，
的诸元素为
，
的诸元素为
，而
，故可得到所对应的元素之间的关系为
即得
在
时
（7.3.10）
式中
。
式（7.3.10）表示在无约束的条件下，最小二乘方复原后的估计图像的付立叶变换
。由于我们有时将
当作一个滤波函数，原始图像的付立叶变换乘以此滤波函数后，可得降质图像的付立叶变换
，即
。现在估计图像的付立叶变换
是降质后图像的付立叶变换
乘以
而得到的，
起了反向滤波作用，故称为反向滤波法（又称为逆滤波法）。
在求出
以后，再进行付立叶反变换可得
，即
（7.3.11）
（二）零点的影响
在实际使用反向滤波进行图像复原时，从式（7.3.10）可看出：如果在
平面上有一些点或区域的
，即出现了零点，就会导致不定角。因此，即使没有噪声，一般地说也不可能精确的复原
。但是，如果
的零点只是位于
平面中少数几个已知点上，那么计算
时一般可将它们忽略不计，而不会明显地影响复原的结果。
如果在考虑噪声时，将式（7.2.69）代入式（7.3.10）得
（7.3.12）
从此式可看出，如果
为零或变得非常小时，则
项对复原的结果起主导作用。因此，在考虑噪声存在时，
的零点影响更为严重。另外，在大多数的实际问题中，
离开原点衰减得很快，而噪声项一般多在高频范围，其衰减速度较慢。因此，为了避免
的值太小，复原只好局限于离原点不太元的有限区域内进行。而且所能做的最多是仅仅复原
平面上信噪比高的那些频率，这是使用反向滤波进行图像复原时应该注意的地方。
图 7-3-1 反向滤波图像复原的例子
反向滤波图像复原的例子如图7-3-1所示。图7-3-1（a）是原始图像
；图7-3-1（b）是降质后模糊图像；图7-3-1（c）是在原点附近复原的结果（不包括
过分小的数值）；图7-3-1（d）是离原点较远的区域内复原的结果，很显然，已完全复原不了原始图像“5”字的样子。
（三）消除因匀速直线运动引起的图像模糊
作为反向滤波器图像复原的实例，本节讨论如何去除因匀速直线运动引起的图像模糊。这种复原问题在实际中经常会遇到，如在飞机、宇宙飞行器等运动物体上所拍摄的照片，由于照象机镜头在曝光瞬间的偏移会产生这类性质的模糊。同时，通过本节的讨论，可看出是如何处理
的零点问题的。最后，导出了非常适合于计算机处理的递推公式。
假设原始图像
在记录过程中有一平面运动。令
和
分别为在
方向和
方向上运动的分量。记录媒体（例如胶片）任何一点的总曝光量，是在快门打开的期间对瞬间曝光进行积分而得到的。为了突出图像运动的影响，假设快门的打开与关闭是瞬时发生的，并且光学成象过程是完善的。那末，在曝光时间
内，所产生的模糊图像
为
（7.3.13）
由7-2-4节第二部分的讨论，注意积分区间为0到
，由式（7.2.17）可得降质图像的付立叶变换
为
(7.3.14)
式中
为降质系统传递函数。由式（7.2.18）可得
(7.3.15)
作为例子，设图像只在
方向上作匀速直线运动，其速率为
，而
。在
时，图像移动了总的距离为
。此时式（7.3.15）变为
（7.3.16）
此时
的函数形式是
函数。很显然，在
时出现零点，即
，其中
为整数。在进行图像复原运算时，可将零点忽略；或在
较小时，取
，在
范围内（不包括原点）进行复原运算，这对复原结果一般影响不大。
为了避免上述零点问题的出现，如果假设
只在
之内有值，其零点在区间以外出现，就可以根据在这区间内，对退化模型的了解，用递推的方法直接复原出图像
。
再假设
是时不变的，即
。暂时去掉此变量，将式（7.3.13）写成
（7.3.17）
令
，代入上式得
（7.3.18）
为简单起见，忽略前面的常数项得
（7.3.19）
对上式微分，有
(7.3.20)
或
(7.3.21)
仅从上式还不能确定
，还需作进一步推导。为了推导方便，设
，
为一整数，则变量
可表示为
（7.3.22）
式中
为区间
内的数值，
为
的整数部分。例如
，则
为
的整数部分，即
，那末可得
。
还应指出：对于
时，则
可设为整数
中任何一个数。例如，当
时，则从式（7.3.22）可得
,
。
将式（7.3.22）代入式（7.3.21）得
（7.3.23）
设
(7.3.24)
代表了曝光期间在
范围内移动的景物部分。此时，式（7.3.23）可通过
用递推的方式表示为另一种形式。
当
时
(7.3.25)
当
时
（7.3.26）
代入式（7.3.25）得
（7.3.27）
当
时
（7.3.28）
代入式（7.3.27）得
（7.3.29）
很明显，根据递推原理，可得到如下的结果：
（7.3.30）
因
，代入上式得
(7.3.31)
因为
变化的范围的
，而
的变化范围为
，故上式可等效为
(7.3.32)
式中
是已知的，只要知道了
，就可求出原始图像
现在推导
的估算问题。
首先应指出：当
由0变到
时，
从0变到
。因为
的自变量为
，该变量总是在
范围内变化，因而可得出在
区间内计算
。由于
重复了
次，我们定义
（7.3.33）
那么，式（7.3.32）可改写为
(7.3.34)
如果在
时，对式（7.3.34）的左右两端进行计算，并把
时的结果相加起来，并注意到
,
，其结果为
(7.3.35)
二边除以
得
（7.3.36）
很明显这一式子右端的第一个和式是未知的。但是，在
的值很大时，它将趋于
的平均值。因此，这一和式可近似看为一常数
，
的大小为
的平均值。上式可近似写成
（7.3.37）
或者对
得
（7.3.38）
用式（7.3.33）代替 得
（7.3.39）
这样，就近似求得
的关系式，将它代入式（7.3.32）得出只有
方向上匀速直线运动
,
的结果表示式
(7.3.40)
如果引入变量
得
（7.3.41）
同样，假设
只在
之内有值，且
，可得到曝光期间只有
方向均匀直线运动的递推公式
(7.3.42)
根据上面两式，就不难写出在
方向上均有匀速直线运动的表示式。
利用上述递推方法进行图像复原的实例如图7-3-2所示。图7-3-2(a)所示的图像为曝光期间在
方向上有匀速直线运动所造成的模糊，移动的距离差不多等于照片宽度的八分之一。图7-3-2(b)是利用递推公式（7.3.41）得到的去掉模糊后的结果，经表明该公式给出的近似误差是完全许可的。
图 7-3-2 (a)匀速直线运动造成的模糊 (b)利用式(7.3.41)复原的图像
反向滤波图像复原是一种无约束复原，它除了寻找一个最优估计图像 ，使准则函数
最小外，其它不受任何约束。它只要求了解降质系统的冲激响应（或传递函数）的知识，就能利用式（7.3.6）或（7.3.10）进行复原。但由于传递函数存在零点的问题，复原只能局限于离原点不太远的有限区域内进行，这有相当大的随意性和局限性。
本节讨论的最小二乘方滤波图像复原是另一种复原技术。它是一种约束复原，除了要求了解关于降质模型的传递函数的情况外，还需知道（至少在理论上）噪声的统计特性和噪声与图像相关情况。对于不同的复原技术需要不同的噪声的先验知识。本节首先讨论的基于维纳（Wiener）滤波理论的图像复原滤波器，要求了解噪声的频谱密度，而接着讨论的由菲利浦（Phillips,1962）提出的约束的最小二乘方复原只需要知道噪声的均值和方差。
（一）约束复原的基本原理
在约束最小二乘法复原问题中，令
为
的线性算子，要设法寻找一个最优估计
，使形式为
的、服从约束条件
的函数最小化。该最小化问题，可利用拉格朗日乘数法进行处理。即将约束条件表示为
，然后加上函数
，其中
为一常数，称为拉格朗日（Lagrange）乘子。也就是说：要寻找一个
，使下列准则函数为最小
（7.3.43）
将式（7.3.43）对
偏微分，并使结果为零，则得
（7.3.44）
对（7.3.44）式求解
得
(7.3.45)
式中
。这个量必须调整到约束条件被满足为止，在下面将要讨论这一问题。式（7.3.45）是本节讨论的最小二乘方滤波复原的基础，问题的核心是如何选择一个合适的变换矩阵
。选择
型式不同，可得到不同类型的最小二乘方滤波复原方法。如选用图像
和噪声
的相关矩阵
和
表示
就可得到维纳滤波复原方法。如改用其它型式，如菲利浦提出的以平滑度为基础的，使某个函数的二阶层数最小，即
选用拉普拉斯算子型式表示，就可推导出另一种约束最小二乘方复原。下面分别进行讨论。
（二）维纳滤波图像得原
设
和
分别为原始图像
和噪声
的相关矩阵，其定义分别为
（7.3.46）
（7.3.47）
式中
代表数学期望运算。
的第
个元素用
表示，它是
的第
个和第
个元素之间的相关。同样，
的第
个元素的
给出了在
中相应的第
个和第
个元素之间的相关。因为
和
的元素为实数，那么
(7.3.48)
（7.3.49）
因此，
和
均为实对称矩阵。对大多数的图像函数，象素（即
和
的元素）之间的相关不会延伸到图像中20到30个点子的距离之外。因而，典型的相关矩阵在主对角线附近将有一个非零元素带，而在右上角和左下角的区域将为零值。
假设任意两象素的相关性，只与象素的距离有关，而和它们所在的位置无关时，可以证明
和
近似为分块循环矩阵。因此，根据7-2-6节的讨论，可利用一个
的特征向量组成的
矩阵对它们进行对角线化。设
和
为
和
相应的对角矩阵，则
(7.3.50)
（7.3.51）
如前所述，矩阵
和
中的诸元素分别为相关矩阵
和
中诸元素的付立叶变换。我们用
和
表示
和
矩阵中各元素，而
和
中的各元素是
和
中各元素之间的自相关函数。由信息论可知，随机向量的自相关函数的付立叶变换是随机向量的功率谱密度。因此
和
分别是
和
的谱密度。
如果我们选择线性算子
满足如下关系：
(7.3.52)
将此式代入式（7.3.45）得
(7.3.53)
利用式（7.2.51）、（7.5.53）、（7.3.50）和（7.3.51）可得
(7.3.54)
式中符号
表示“共轭”。
二边左乘
，并进行某些矩阵变换，上式可化为
（7.3.55）
可以看出括号内的矩阵都是对角矩阵，利用7-2-6节讨论的概念，可将式（7.3.55）的元素写成以下的形式
（7.3.56）式中
(
为拉格朗日乘子)。因已假设
，故
（7.3.57）
下面讨论式（7.3.56）表示的各种情况：
1.当
时，式（7.3.56）的大括号内的项被称为维纳滤波器。若
为变数，则称此式是参变维纳滤波器。需要指出的是：当
时，一般不能说可以利用式（7.3.56）在约束条件的意义上得到最佳解。因为，正如上面所指出的：
必须调整到满足约束条件
才行。
2.在元噪声存在，即
时，式（7.3.56）变成
（7.3.58）
这就是前面讨论过的反向滤波形式。因此，反向滤波器可看为是维纳滤波器的一种特殊情况。也可以说：式（7.3.56）中的分母上的
项是在有噪声的情况下，在统计意义上对传递函数的修正，它为了在有噪声的情况下提供最佳复原（在均方意义上）而使
变平滑。
3.式（7.3.56）求解的关键是要知道频谱密度
和
。而对随机噪声的统计性质的了解往往是困难的和有限的。因而，最一般的假设是为白噪声，即其频谱密度为一常数，并且与图像不相关。这种假设通常会产生一些问题，因白噪声的概念是一个数学上的抽象。但是，只要噪声的带宽远大于图像的带宽就可近似看成白噪声，虽然不太确切，但它却是一个方便的模型。至于图像与噪声不相关，在一些实际应用中这个假设也不符合实际情况。例如，底片颗粒噪声或医学X射线和核扫描图像。
如假设在白噪声，即
=常数。那么，可认为
等于在零点时的谱密度
它等于
（7.3.59）
4.如果不知道噪声的统计性质，即
和
未知时，式（7.3.56）可近似为
（7.3.60）
式中
是噪声对信号的频谱密度之比，它近似为一常数。此式可使退化图像得到一定程度的复原，但是否为最优复原，还值得进一步地研究。
（三）约束最小二乘方复原
上节讨论的维纳滤波器是一个统计过程的最小二乘方法，它的最佳准则是以图像和噪声的相关矩阵为基础的，这意味着维纳滤波器是在对一族图像在平均的意义上是最佳的。同时要求原始图像和噪声属于均匀随机场（一个随机场，如它的期望值
与位置
无关，且它的自相关函数是位移不变的，则称为均匀随机场），并且它们的频谱密度是已知的，但在实际使用中，人们往往没有这方面的先验知识。
本节讨论的约束最小二乘方复原是菲利浦提出的，它的最佳准则是以平滑度为基础的。例如，使某个函数的二阶导数为最小。这意味着该复原过程，对每个给定的图像都是最佳的，同时只要求知道噪声的均值和方差，对每个给定的图像都是最佳的，同时只要求知道噪声的均值和方差，这一般容易了解的先验知识。本节将简叙这种复原的基本原理。
正如上节所指出的：式（7.3.45）是最小二乘方滤波复原的基础，关键是如何选择合适的变换矩阵
。维纳滤波方法选用了相关矩阵
，而菲利浦平滑法选用了平滑矩阵
。本节先从一维情况开始讨论，然后扩展到二维。
如给定一维离散函数
，其中
。该函数在某一点
处的二阶导数可近似地表示为 ：
（7.3.61）
约束最小二乘法的最佳准则是使
在所有的
处为最小。即使
最小 （7.3.62）
或用矩阵符号表示为
最小 （7.3.63）
式中
（7.3.64）
为一平滑矩阵。
为一向量，它的元素就是
的抽样值。
推广到二维情况，在某一点
处的二阶导数，即称为拉普拉斯算子，它可近似地表示为：
（7.3.65）
其约束最小二乘方复原的最佳准则是使
最小 （7.3.66）
式（7.3.65）可直接在计算机中完成，但也可用
与下面算子
进行卷积得到相同的运算。
（7.3.67）
正如7-2-5节所指出的：在离散卷积过程中为了避免重叠误差，必须用添零的方法扩展
和
。
如果
的大小为
，因
的大小为
，那扩展后的
,
。那么，扩展函数的卷积为
（7.3.68）
此式与式（7.2.27）是一致的。
根据类似于7-2-5节的方法，我们可以把上面的平滑准则表示为平滑矩阵形式。首先，建立一个分块循环矩阵
(7.3.69)
式中每个子矩子
是由
的第
行组成的
的循环矩阵，即
(7.3.70)
此分块循环矩阵
称为平滑矩阵。它可用7-2-6节定义的矩阵
进行对角线化，即
（7.3.71）
式中
为对角矩阵，其元素
是
中元素
的二维付立叶立变。
因为上面讲的卷积运算与式（7.3.67）等效，可将式（7.3.66）的平滑准则表示成为式（7.3.63）的形式，即使
最小 (7.3.72)
式中
为
维矢量，
矩阵的大小为
。
如令
，代入式（7.3.45）得
（7.3.73）
利用式（7.2.51）、（7.2.53）和（7.3.71），式（7.3.73）可表示为
（7.3.74）
将上式两边左乘
，并进行一些矩阵变换，则上式可化为
(7.3.75)
注意括号内的元素是对角线化的。利用7-2-6节中所讨论的概念，可以把式（7.3.75）的元素表示为
（7.3.76）
式中
。当
时，
。
式（7.3.76）就是利用菲利浦平滑度约束而推导出的最小二乘方复原方式，它类似于前节导出的参变维纳滤波器。式（7.3.76）与（7.3.56）的主要差别在于：前者不要求确切知道统计特性参数——频谱密度。
与维纳滤波器要求一样，式（7.3.76）中的
也要调整到满足约束条件
，才能得到最佳结果。其中有一个重要问题是应知道一些关于
的情况：
(7.3.77)
其中
是噪声的方差，
是噪声的均值。式（7.3.77）的重要性在于它能利用噪声的均值和方差来确定约束条件，而这些量往往可以近似地计算出或在实际使用中测量出来。
