第四节 非线性滤波图像复原方法上节讨论的方法都是线性图像复原方法，其降质模型假设都是线性、位移不变系统，并且假设噪声的模型是相加性。但是，实际上大多数降质过程都包含着各种非线性因素，必须进行合理性的忽略，并假设在灰度级的小动态范围内才可以近似为线性处理。而且相加性噪声经非线性变换后，也只能在小的动态范围内假设它对
的影响是相加性的。对于动态范围大的或要求更符合实际的图像复原，一般应考虑非线性的影响。因此，研究各种非线性滤波图像复原方法，是当前图像复原研究中一个很活跃的领域。
本节主要介绍正性──约束条件的非线性滤波图像复原方法，其中重点介绍最大熵图像复原。正性约束条件的图像复原结果往往更为符合实际情况，如光学信号的特有性质总为正值，而反向滤波等线性图像复原都可能产生无实际意义的负输出，这可能会在图像的零背景区域中产生一些假的负波纹（假细节）。因此，将复原后的图像
强制约束为正量是有必要的，这就出现了正性──约束条件的图像复原。
人们可能简单地取线性复原的最佳估计图像
的绝对值
来形成正的
。这种方法显然是不好的。因它的结果使（7.2.28）式的卷积不能与已知图像数据
保持一致，同时对分辨率和平滑性无任何好处。因此，必须对图像数据进行非线性运算。
有人提出的方法是使
(7.4.1)
然后设法找
。在频域中，式（7.4.1）表示为
式中符号
表示卷积。如噪声项为0时，由（7.3.10）式可得
（7.4.2）
式（7.4.2）中的右边部分是反向滤波器的解
。这就是说：反向滤波器的解可作为正性约束条件的输入。此方法已有迭代算法，并证明可得到收敛解。
该方法在考虑噪声时，必定会输入
带来误差，同时也属于一种专用方法。能否有一种更为普遍的正性约束条件的复原方法？近年来提出的最大熵复原就是其中之一的方法。
（一）最大熵的概念
熵（entropy）是一个古老的概念，它表征平均信息量的大小，在数字图像处理和模式识别中也有很多的应用。如在图像编码中，用熵表示相应于编码器输入值集合的信息量，它提供了一个量度任何特定码性能的准则。如已知编码器的输入概率，那熵可作为这些输入值编码所需平均比特数的下限，编码器所需平均比特数
接近于熵
，那编码器最佳。在模式识别中往往需要估计表征随机变量的概率密度
，这可用在一定约束条件下的最大熵原理来估计
,所获得的平均信息最大，偏差最小。
熵的一般定义为
(7.4.3)
式中
为随机变量
的概率密度。
对离散信号熵表示为
（7.4.4）
熵的概念是表征随机变量集合的随机程度的量度。最小随机情况是某一随机变量的概率为l，那结果是预先知道的，其熵
。最大随机情况是所有随机变量等可能性，即
，其熵最大，最大熵为
。因此，熵是处于
之间，此时
是0~1之间的值，
不可能出现负值，故最大熵准则能自动地引向全正的输出结果。
在二维数字图像中，熵定义为
（7.4.5）
此时熵的定义与式（7.4.4）略有不同，在式（7.4.4）中熵被定义为一个离散随机过程。而在二维数字图像中熵被定义为一个单一的、确定的正值函数，可利用最大熵原理估计
。
数字图像最大熵复原的基本原理是将
写成随机变量的统计模型，然后在一定约束条件下，找出用随机变量形式表示的熵的表达式。再用求极大值的方法，获得最优估计解
。 最大熵复原的含义对
起最大平滑估计。
根据国外七十年代以来所发表的资料，数字图像最大熵复原基本上有二种方法：一是弗里登（Frieden）法，一是伯格（Burg）法。这二种方法的原理基本相同，所不同的是对模型的假设方法不同，导致了不同的
的角。
（二）弗里登最大熵复原
弗里登提出的图像统计模型是将原始图像
看为由离散的数字颗粒
组成，它分散在整个图像平面上。如将图像平面分成许多小格，设分成
个小格，每个小格的中心位于所在点
位置上。设
在第
个小格中的
个颗粒，那么灰度级函数
可表示为
（7.4.6）
如设
为整个图像平面数字颗粒的总数，在大量颗粒分布在整个图像平面时，由大数定律可得第
点，即第
小格中颗粒出现的概率为
(7.4.7)
由熵的定义，并考虑（7.4.6）、（7.4.7）式可得
其中
和
是已知数，
可写为
（7.4.8）
式中
为常数。
弗里登最大熵复原的基本原理就是求
为最大 （7.4.9）
来估计原始图像
。式（7.4.8）中的系数
在导数法求
最大值时是无关紧要的。
下面介绍弗里登最大熵复原的解。弗里登提出的数字图像最大熵复原问题是求一个图像熵和噪声熵加权之和的极大值问题。此时，熵被写成
（7.4.10）
式中
为图像熵，
为图像噪声熵，
是加权系数。图像熵
由（7.4.9）式决定。由于每个象素位置
上的图像噪声
，其
是无定义的。为解决此问题，必须定义一个新的噪声值
，其大小为
（7.4.11）
式中
是一个常数，它定义为
为负的最大负数
（7.4.12）
值是由噪声的某些先验知识来确定，例如可用
近似代替，
是噪声的标准偏差。但
值必须满足式（7.4.12）的要求，使
不会出现负值。因而，噪声熵可为
（7.4.13）
加权系数
是为强调
或
而设的。
越大，就越强调噪声熵，即强调对噪声的平滑作用，也就是对图像的平滑作用。弗里登指出
时，其平滑效果最佳。
对式（7.4.10）的
求极大值时，还必须考虑以下二个约束条件：
1.最大熵复原必须受式（7.2.28）和式（7.4.12）的约束，即约束条件之一为
（7.4.14）
式中
。
2.图像的灰度级总和是一个非负值的已知常数，即约束条件之二为
（7.4.15）
式中
是一已知常数。
这样，最大化问题可用拉格朗日数完成。其总熵定义为
（7.4.16）
式中
和
是
个拉格朗日系数。
用对式（7.4.16）求极大值的方法，得到
和
的最优估计
和
。即对式（7.4.16）求偏导数
和
（7.4.17）
可得弗里登最大熵复原解为
（7.4.18）
（7.4.19）
复原图像
中的拉格朗日系数
和噪声
中的拉格朗日系数
共
个末知数的求法，可将式（7.4.18）、（7.4.19）代入约束方法（7.4.14）、（7.4.15），得到
个非线性方程系。其解可用牛顿──拉福森（Newton──Raphson）算法进行迭代求得。
（三）伯格最大熵复原
伯格提出的图像统计模型是将
看为一个变量
的平方，它保证了
是正值，即
。
在频域中可得到与式（7.4.2）同样的结果
（7.4.20）
式（7.4.20）方程的左边部分表示反向滤波的估计，它作为正性约束条件算法的输入数据。
伯格定义的熵与标准熵的定义（7.4.3）式略有不同，其伯格熵的定义为
（7.4.21）
伯格最大熵复原的基本原理就是求
最大
来估计
。同样最大化问题也是用拉格朗日系数来完成。其熵
定义为
（7.4.22）
式中
是
个拉格朗日系数。
。
通过对式（7.4.22）求偏导数
（7.4.23）
可得伯格最大熵复原的解。已推导出了伯格最大熵复原的一维情况的解，至于二维情况的解，至今未见到发表。
对一维情况，
定义为
（7.4.24）
对上式求在
的偏导数可得一维的最大熵复原的解：
（7.4.25）
式中
个未知数
是由下列
（7.4.26）式中
（7.4.27）
(7.4.28）
式（7.4.28）表示中间变量
与输入数据
之间的关系。
表示取实数部分。
（四）两种最大熵复原方法的比较
上述的两种最大熵复原都是正性约束条件下的图像的非线性复原方法。其复原图像的介
是正值，这与光学图像信号要求为正信号相符合。最大熵复原是对
起平滑作用，实质上得到的最优估计
是最大平滑估计。
弗里登提出的熵的准则式（7.4.9）比伯格提出的熵的准则式（7.4.21）更接近古典熵的定义式（7.4.3）的形式。但伯格最大熵复原解是闭合形式的严密解，它不需要迭代算法，可节省计算机时间，这是一个基本的优点。不过此解对噪声比较敏感，如输入中存在噪声时，复原图像可能会被许多小斑点所模糊。
弗里登最大熵复原尚缺乏一种严格的解，它可用迭代方法求解。据有关资料介绍，在应用Newton──Raphson迭代法求
个拉格朗日系数，一般需8～40次迭代就可求得。
从应用来看，伯格最大熵复原目前还只能应用在一维信号。弗里登最大熵复原可应用于二维图像信号，但只有在图像是由许多小图像组成时（如天文图像中星球照片），复原的结果比较成功。
同态滤波法复原图像和第六章介绍的同态图像增强技术相似，其基本原理是先对降质图像取对数，再进行滤波处理，最后通过指数变换得到复原图像
。但它们使用的场合和目的不一样。
设退化图像
可以分为两部分乘积，即
（7.4.29）
取对数得
(7.4.30)
同态滤波复原过程可用图7-4-1所示。
图 7-4-1 同态滤波器复原框图
设同态滤波器冲激响应为
，其复原结果
为
(7.4.31)
同态滤波在不考虑相位的情况下，也可用频域复原方法进行。其复原的准则是估计图像
的功率谱
与原图像
的功率谱
相等，即
(7.4.32)
根据上述准则设计同态复原滤波器
为
（7.4.33）
式中
为降质图像的功率谱。由7-2-5节讨论的图像退化模型如下式所示
(7.4.34)
式中
为降质系统的冲激响应，
为噪声。所对应的退化图像的功率谱为
（7.4.35）
式中
为降质系统的传递函数，
和
分别为原始图像和噪声的功率谱。
将式（7.4.35）代入式（7.3.33）后，可得同态滤波器的传递函数的表示式为
（7.4.36）
同态滤波器的传递函数与式（7.3.57）表示的维纳滤波器的形式，除分子相差一项
以外基本相似。其求解的关键还是要预先知道功率谱
和
。
如噪声项为零，其滤波器的传递函数为
，这就是7.3.1节讨论的反向滤波器。