第五节 卡尔曼（Kalman）滤波图像复原在信号处理的滤波和预测中，一维卡尔曼滤波有着广泛应用，它的最突出的优点是可以快速“实时”处理和节省内存容量。将一维推广到二维卡尔曼滤波，可以用在图像复原技术中。但是，由于存在着某些理论上的问题待解决，目前应用卡尔曼滤波进行图像复原，其降质过程只限于假定是被白噪声污染的马卡科夫（Markov）过程。这种复原技术是设法用卡尔曼滤方法将原始图像从降质型式中复原出来，每点的最佳估计可用诸邻近点的最佳估计及该点的数据表示。
本节不准备介绍卡尔曼最佳估计和滤波理论的推导过程，只是从介绍一维卡尔曼滤波的理论出发，然后推广到二维的递推算法。由于篇幅有限，只能介绍一些基本概念，作为一个入门。
在卡尔曼滤波中，是用状态变量方程来描述被研究系统动力学方程，系统信号模型状态向量决定了卡尔曼滤波的阶数。对于随机过程，状态是以过去和现在估计的最小信息量来决定全部未来的响应的最佳估值，从而给出未来的、带来噪声干扰的观测值。此情况下，系统的动态模型
(7.5.1a)
(7.5.1b)
式中
是
信号状态列向量
是
观察或接受的信号列向量
是
状态转移矩阵
是
系统驱动矩阵
是
观测矩阵
是
白噪声序列向量，它的均值
，方差为
矩阵
和
为协方差矩阵
为克朗内克
，即当
时，
；当
时，
。
卡尔曼滤波是按无偏最小方差准则进行最优估计的，即实际状态的
的卡尔曼估计
满足。
无偏
最小方差
最小
卡尔曼滤波的另个优点是采用线性递推的估计形式。由式（7.5.1）可知，当
时刻的观察值
一旦获取，只要把它和
时刻的估计值进行线性组合，就可得到
时刻的估计值
。因此，卡尔曼滤波又被称为线性无偏最小方差的递推滤波，它的估计性能是最佳的，线性递推的计算形式又能适应实时处理的需要。
卡尔曼滤波就是对式（7.5.1）所描述的系统（其中
均已知），从观察值
求出系统状态
的最佳滤波值
和未来时刻状态的最佳预测值
。
现在的问题是
时刻已知：
1.矩阵
；
2.
的初始值
和误差协方阵的安始估计
：
如何从观察值
求得状态
的线性、无偏、最小方差估值和估计误差协方差阵的递推形式。因此，卡尔曼滤波的递推公式可按下述方法求得：
1.最佳预测值
当
时刻
的最佳滤波估值
已经得到，则由（7.5.1a）式可求得
的最佳预测值：
(7.5.2a)
或写成
(7.5.2b)
2.预测误差均方差
它表征预测估计值
的估计精度。
（7.5.3）
其中
称为滤波误差的协方差矩。
3.最佳滤波增益
令
为权函数，又称增益矩阵，它等于
(7.5.4)
4.最佳状态滤波值
（7.5.5）
5.滤波误差协方阵
它表征滤波估值
的估计精度，可用下式计算
（7.5.6a）或
(7.5.6b)
这里
表示基本观测值
给
的线性无偏、最小方差的进一步预测估值。而
表示基于观察值
给
的线性无偏、最小方差的滤波估值。
目前已研究了二维卡尔曼滤波图像复原的某些方法，它能对被空间移位不变模糊白色高斯噪声干扰的图像进行复原，可以大大节省计算时间存贮量。这种被白噪声干扰的模糊二维图像可用随机过程马尔柯夫过程来描述，它是用最小二乘方估计定义的，因此称为广义马尔柯夫过程。严格定义的马尔柯夫过程是用条件分布函数定义的，对高斯分布的随机场，这两个定义是等效的。
（一）用广义马尔科夫随机场表示图像
用广义马尔科夫随机场表示图像一定满足下面的差分议程
（7.5.7）
其中
为原始图像，它的各个象素点
是表示为一个图像阵的
形区域中的所有点，
如图7-5-1所示。即
（7.5.8）
代表点对
的下列集合
（7.5.9）
若
是
的最佳估计，则
（7.5.10）
其中系数
是这样确定的：它使得均方估计误差
（7.5.11）
为最小，那么
称为
的线性最小二乘方估计。式（7.5.10）表明
的用
形区域
表示的最小二乘方估计与仅用左边和上边三个最近邻点表示一样。（请注意图7-5-1中
和
的增加方向）。
因此，式（7.5.7）可表示为
（7.5.12）
即估计误差
是每一点的差分
。而
是假设为白噪声激励的，是一个非相关的随机变量阵列。
(a) 由点线形成的形区域
(b) 区域和
图7-5-1
（二）二维卡尔曼滤波复原
用式（7.5.7）表示被白噪声干扰的个义马尔柯夫过程描述的模糊图像进行图像复原，即可用贝叶斯（Bayes）定理的条件概率的方法，也可用递推形式的最小二乘法来估算，这是一种最小方差无偏估计。广义地说，就是对马尔柯夫随机信息组进行二维卡尔曼滤波。
现在考虑的问题是如何将上述一维卡尔曼滤波的递推算法推广到二维。首先我们会遇到一维滤波系统状态定义，难以直接用到二维情况。但是，考虑到二维离散图像是一个
的有规则的空间阵列，其模型可用（7.5.7）表示的广义马尔科夫过程描述。如将
区域
表示“过去”，点
表示“现在”，图像的其余部分为“将来”。这样划分的“过去”“现在”“将来”三种“状态”，不同一维情况的“状态”定义，为了区别，可以称为“伪状态”。具体做法可以用光栅扫描，即对一幅二维图像由左到右，由上到下逐行扫描获得，如图7-5-2所示：
图 7-5-2 利用光栅扫描获得三种“状态”
在此情况，式（7.5.7）表示的二维图像模型可以写成标量方程
(7.5.13)
式中
，
是白色高斯噪声。从参量信号模型的观点来看，模型（7.5.13）式是上述白噪声通过
阶二维归滤波器的结果。相应的观测方程是：
(7.5.14)
式中
是白色高斯噪声源。
应用上述扫描方法，可以将二维问题变成一维问题来求解。因此，式（7.5.13）可以写成式(7.5.1a)的状态向量形式
(7.5.15)
式中
相应的观测模型是
（7.5.16）
显而易见，按照逐线扫描所得的信号模型(7.5.15)式和(7.5.16)式与一维卡尔曼滤波系统的模型公式相同。因此，利用上述的一维计算方法可以实现二维卡尔曼滤波。